第3章 运算方法和运算部件
1.设机器字长32位，定点表示，尾数31位，数符1位，问： (1)定点原码整数表示时，最大正数是多少？最大负数是多少？ (2)定点原码小数表示时，最大正数是多少？最大负数是多少？ 解：（1）定点原码整数表示：
最大正数： 0 111 111 111 111 111 111 111 111 111 1111
数值 = （231 – 1）
最大负数： 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0001 数值 = -1
（2）定点原码小数表示：(机器数同上)
最大正数值 = 1 – 2-31 最大负数值 = – 2-31
2．已知 x = - 0.01111 ，y = +0.11001，
求 [ x ]补 ，[ -x ]补 ，[ y ]补 ，[ -y ]补 ，x + y = ？ ，x – y = ？ 解：[ x ]原 = 1.01111 [ x ]补 = 1.10001 所以 ：[ -x ]补 = 0.01111 [ y ]原 = 0.11001 [ y ]补 = 0.11001 所以 ：[ -y ]补 = 1.00111
[ x ]补 11.10001 [ x ]补 11.10001 + [ y ]补 00.11001 + [ -y ]补 11.00111 [ x + y ]补 00.01010 [ x - y ]补 10.11000
所以： x + y = +0.01010 因为符号位相异，结果发生溢出 3．已知X=2010×0.11011011，Y=2100×（-0.10101100），求X+Y。
解：为了便于直观理解，假设两数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点表示分别为：
[ X ]浮 = 00010 ， 0.11011011 [ Y ]浮 = 00100 ， 1.01010100 （1） 求阶差并对阶：
ΔE = Ex – Ey = [ Ex]补 + [ - Ey]补 = 00010 + 11100 = 11110 即ΔE为 –2，x的阶码小，应使Mx 右移2位，Ex加2， [ X ]浮 = 00010 ， 0.11011011 （11）
其中（11）表示Mx 右移2位后移出的最低两位数。 （2） 尾数和
0. 0 0 1 1 0 1 1 0 （11） 1. 0 1 0 1 0 1 0 0
1． 1 0 0 0 1 0 1 0 （11）
（3） 规格化处理
尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为1.00010101 （10），阶码为00 011 。
（4） 舍入处理
采用0舍1入法处理，则有
1. 0 0 0 1 0 1 0 1
+ 1
1. 0 0 0 1 0 1 1 0
（5） 判溢出
阶码符号位为00 ，不溢出，故得最终结果为
011
x + y = 2× (-0.11101010) 4．设有两个浮点数x=2Ex×Sx，y=2Ey×Sy，Ex=(-10)2,Sx=(+0.1001)2,Ey=(+10)2,Sy=(+0.1011)2。若尾数4位，数符1位，阶码2位，阶符1位，求x+y=？并写出运算步骤及结果。 解：因为X+Y=2Ex×（Sx+Sy） （Ex=Ey），所以求X+Y要经过对阶、尾数求和及规格化等步骤。
（1） 对阶： △J=Ex－EY=（-10）（+10）（-100）则Sx右移4位，Ex+(100)2=(10)2=EY。2－2=2 所以Ex （） SX右移四位后SX=0.00001001，经过舍入后SX=0001，经过对阶、舍入后，X=2102×（0.0001）2 （2） 尾数求和： SX+SY 0． 0001（SX） + 0. 1011（SY） SX+SY=0. 1100 结果为规格化数。所以： X+Y=2（10）2×（SX+SY）=2（10）2（0.1100）2=（11.00）2 5．设[x]补 =x0.x1x2?xn 。 求证：x = -x0 +证明： 当 x ≥ 0 时，x0 = 0 ， [x]补 = 0.x1x2…xn = ?i?1nxi2 -i ?i?1n xi 2i =x - 当 x < 0 时，x0= 1 ， [x]补 = 1.x1x2…xn = 2+x 所以 x= 1.x1x2…xn - 2 = -1 + 0.x1x2…xn = -1 + ?i?1n xi 2i - 综合上述两种情况，可得出：x = -x0 + j1 ?i?1j2 nxi2 （补码与真值的关系） -i 6．设有两个浮点数 N1 = 2 × S1 , N2 = 2 × S2 ,其中阶码2位，阶符1位，尾数四位，数符一位。设 ：j1 = (-10 )2 ,S1 = ( +0.1001)2 j2 = (+10 )2 ,S2 = ( +0.1011)2 求：N1 ×N2 ，写出运算步骤及结果，积的尾数占4位，要规格化结果，用原码阵列乘法器求尾数之积。 解：（1）浮点乘法规则： j1j2（j1j2） N1 ×N2 =（ 2 ×S1）× （2 × S2） = 2+ ×（S1×S2） （2）阶码求和： j1 + j2 = 0 （3） 尾数相乘： 被乘数S1 =0.1001，令乘数S2 = 0.1011，尾数绝对值相乘得积的绝对值，积的符号位 = 0 0⊕0 = 0。按无符号阵乘法器运算得：N1 ×N2 = 2×0.01100011 （4）尾数规格化、舍入（尾数四位） （-01） N1 ×N2 = （+ 0.01100011）2 = （+0.1100）2×22 7．求证： - [y]补 = +[-y]补 解：因为 [x]补 + [y]补 =[x+y]补 令 x=-y 代入上式，则有： [-y]补 + [y]补 =[-y+y]补 = [0]补 = 0 所以 [-y]补 = -[y]补 8．设[x]补=x0.x1x2…xn。求证： [x]补=2x0+x，其中x0= ?0,1?x??01,0?x??1 证明：当1 > x ≥0时，即x为正小数，则 1 > [ x ]补 = x ≥0 因为正数的补码等于正数本身，所以 1 > x 0.x1x2?xn ≥0 ， x0 = 0 当1 > x > - 1时，即x为负小数，根据补码定义有： 2 > [ x ]补 = 2 + x > 1 （mod2） 即 2 > x0.x1x2?xn > 1 ，xn= 1 所以 正数： 符号位 x0 = 0 负数： 符号位 x0 = 1{ 若 1 > x≥0 ， x0 = 0，则 [ x ]补 = 2 x0 + x = x 若 - 1 < x < 0， x0 = 1，则 [ x ]补 = 2 x0 + x = 2 + x 1,0?x??1 11119．已知：x= 0.1011，y = - 0.0101，求 ：[ x]补，[ x]补，[ - x ]补，[y]补，[y]补，[ - 2424y ]补 。 解： [ x ]补 = 0.1011 ， [ y ]补 = 1.1011 [ 所以有 [ x ]补 = 2 x0 + x ，x0 = ?0,1?x??011x ]补 = 0.01011 ， [x ]补 = 1.11011 22 [ 11x ]补 = 0.001011 ，[ x ]补 = 1.111011 44 [ - x ]补 = 1.0101 ， [ - x ]补 =0.0101 10．.由S，E，M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数x，其值表示为 ： x = （ -1 ）S ×（ 1.M ）× 2E – 128 问：其所表示的规格化的最大正数、 最小正数、 最大负数、 最小负数是多少 解：（1）最大正数 127 x = [ 1 +（1 – 2-23 ）] ×2 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000 00 （2）最小正数 -128 x = 1．0×2 1 00 000 000 000 000 000 000 000 000 00 （3）最大负数 -128 x = -1．0×2 1 11 111 111 111 111 111 111 111 111 11 （4）最小负数 127 x = - [ 1 + （1 – 2-32 ）] ×2 11．设[X]补=01111，[Y]补=11101，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积 X·Y=？并用十进制数乘法验证。 解：设最高位为符号位，输入数据为[ x ]补 = 01111 [ y ]原 = 11101 算前求补器输出后： x = 1111 y = 1101 1 1 1 1 × 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 乘积符号位运算： 1 1 1 1 x0⊕y0 = 0⊕1 = 1 + 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 算后求补级输出为00111101，加上乘积符号位1，最后得补码乘积值为 10011101 。 利用补码与真值的换算公式，补码二进制数的真值是： 854320 x×y = -1×2 + 1×2 + 1×2 + 1×2 + 1×2 + 1×2 = -195 十进制数乘法验证： x×y = （+15）×（-13）= -195 12. 将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。 解：先将十进制数转换为二进制数： （20.59375）10=（10100.10011）2 然后移动小数点，使其在1，2位之间 10100.10011=1.0010011×24 ,e =4 于是得到 S=0， E = 4+127 = 131 M=01001011 最后得到32位浮点数的二进制格式为： 0100 0001 01010 0100 1100 0000 0000 0000 =（41A4C000）16 第4章 主存储器 1. 设存储器容量为32字，字长64位，模块数m = 4，分别用顺序方式和交叉方式进行组织。存储周期T = 200ns,数据总线宽度为64位，总线周期τ = 50ns .问顺序存储器和交叉存储器的带宽各是多少？ 解： 信息总量： q = 64位 ×4 =256位 顺序存储器和交叉存储器读出4个字的时间分别是： t2 = m T = 4×200ns =8×10–7 (s) t1 = T + (m – 1)τ = 200 + 3×50 = 3.5 ×10–7 (s) 顺序存储器带宽是： W1 = q / t2 = 32 ×107 （位/ S） 交叉存储器带宽是： W2 = q / t1 = 73 ×107 （位/ S） 2．某机字长32位，常规设计的存储空间≤32M ，若将存储空间扩至256M，请提出一种可能方案。 解：可采用多体交叉存取方案，即将主存分成8个相互独立、容量相同的模块M0，M1，M2，?M7，每个模块32M×32位。它各自具备一套地址寄存器、数据缓冲寄存器，各自以同等的方式与CPU传递信息，其组成结构如图B3.3： 图B3.3 CPU访问8个存贮模块，可采用两种方式：一种是在一个存取周期内，同时访问8个存贮模块，由存贮器控制它们分时使用总线进行信息传递。另一种方式是：在存取周期内分时访问每个体，即经过1 / 8存取周期就访问一个模块。这样，对每个模块而言，从CPU给出访存操作命令直到读出信息，仍然是一个存取周期时间。而对CPU来说，它可以在一个存取周期内连续访问8个存贮体，各体的读写过程将重叠进行。 3. 图B5.1所示为存贮器的地址空间分布图和存贮器的地址译码电路，后者可在A组跨接端和B组跨接端之间分别进行接线。74LS139是 2 ：4译码器，使能端G接地表示译码器处于正常译码状态。