（V）循环群·变换群和置换群
一、定义及例子
1、定义：设G是群，若存在a∈G使得G中任意元素均为a的幂，即G=（a）【=（a-1）】 2、例子： （1）Z=（1）
（2）(Z12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z12】 （3）n次单位根群Un【Unit】
0?n?NUn?{x|x?1,x?C}?(C,?)?(?)n?
??cos2n??isin2n?
二、生成元，循环群 1、循环群的元素
?{e,a,...,am?1},o(a)?m?0G?(a)??i ?{a|i?Z},o(a)??2、生成元
（1）o(a)??,a是生成元?r??1 （2）o(a)?n,a是生成元?(r,n)?1
rr欧拉数?(n)：小于n的数中与n互素的。?(n)??r|(r,n)?1,1?r?n?欧拉公式（Enler）：eix?cosx?isinx如（Z12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11])
三、循环群的子群
1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类
# (1)设o(a)??,G?(a),则G的所有子群为{(ar)|r?0}(2)设o(a)?n?0,G?(a),则G的所有子群为{(ar)|1?r?n且r|n}
变换群和置换群
·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i)
·任意一个置换可以写成若干个形如（1i）的乘积（2≤i≤n） 置换的性质
1、(i1i2...ir)?(i2i3...iri1)?(iri1...ir?1)2、o((i1i2...ir))?r3、(i1i2...ir)?1?(irir?1...i1)4、(i1i2...ir)(j1j2...jr)?(j1j2...jr)(i1i2...ir)/*前提：无交*/5、???1?2????t是循环置换的表示（互不相连）且o(?i)?ri则o(?)?[r1,r2,...,rt]?r6、附加：?(i1i2...ir)??1??(i1)?(i2)...?(ir)