第三章 空间向量与立体几何(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
→→→
1．空间四个点O、A、B、C，OA，OB，OC为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线 C．O、A、B、C四点中任意三点不共线 D．O、A、B、C四点不共面
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉等于( ) A．30° B．60° C．90° D．45°
→→
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
→→→→
4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为( )
1
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
2
1111
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
2223
5．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是( ) A．0 B．2 C．4 D．6
→→
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，→→
AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；→→
④AP∥ BD.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
→→→→→→
8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 9．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°
6
10．若向量a＝(2,3，λ)，b＝?－1，1，?的夹角为60°，则λ等于( )
3??
236A. B. 1212236236C. D．－ 1212
→→→→→
11．已知OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为( )
131?133，， B.?，，? A.??243??224?448?447，， D.?，，? C.??333??333?12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( ) 13A. B. 2213C. D. 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 答 案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
1955
0，2，?，B?1，－1，?，C?－2，1，?是平面α内的三点，设平面α的法14．若A?8?8?8????
向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
15．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)
如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1
3→→→→
对角线BC1上的分点，设MN＝αAB＋βAD＋γAA1，试求α、β、γ的值．
4
18.
(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝2a，点E是SC上的点，且SE＝λa (0<λ≤2)． (1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
→→
19.(12分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC. (1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
20．(12分)
如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值． 21.
(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD； (2)求点B到平面PCD的距离．
22．(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．