金牛区高 2015 级二诊模拟
数学试题（文科）
（时间：120 分钟 总
分：150 分） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）
1．已知集合 A {x | x 2 A．[ (4,1) (3, 4] B． [1, 4)
2i ，则 z ( )
16 0}, B {x | lg | x 2 | 0} ，则 A B （ ）4, 3) (1, 4] C． (4,1) (3, 4) D． (4, 3) 2. 已知 z 为复数 z 的共轭复数， 1 i z A.
1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i
3．已知a ， b 都是实数，那么“ 2
a 2
b ”是“ a2
b2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
1232B． C D． 2 3325 一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离 都大于 2 的区域内的概率为 A．1?
313?3?B． C D．
446 6b 6.在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，已知，
cosB （ ）
3A 2 B ，则 3 a，
A．
1132 B． C D．
2 4227.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定
理西方又称之为“中国剩余定理”.一元线性同余方程组问题最早可见于中 国南北朝时期（公元 5 世纪）的数学著作《孙子算经》.若正整数N 除
N 以正整数m 后的余数为n ，则记为 nmod m 5mod 6 ，例如83
若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A. 2019
8. 函数 y cos(x 象重合，则为（
A．
9 、 已 知 函 数f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ，f x 1 为 奇 函 数 ，f 0 0 ， 当 x 0,1 时 ，
的最小值 ）
B. 2023
C. 2031
D. 2047
?3)( 0) 的图象向右平移
?3个单位长度后与 y sin x 的图
11513B． C D．
2 22 2f x log2 x ，则在区间 8, 9 内满足方程 f x 2 f x数 x 为（
A．
）
1 的实217653367 B． C D．
2 84 810、已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD=60°，沿对角线BD 将△ABD 折起使 A 位于新位置A’ ,且A'C?3, 则三棱锥A’BCD的外接球的表面积为（ ）
A．
11. 已知⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 4，M 是△ABC 所在平面内的动点，且|OM|=1，52?50?B． C 6?D．25? 9 9则MA?MB?2MC的最大值为（ ） A .
12、已知实数 x, y 满足 3x y ln x 2 y 3 ln 2 x 3 y 5 ，则 x y
12 A.
5
14 B.
5
16 C.
7
D.
7 18
（
）
4
B . 6 C . 8 D . 10
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知等差数列?an?前 15 项的和S15=30，则a2?a9?a13? 14．已知向量 a （1,
3）， | b | 3 ，向量 a 与向量 b 的夹角为120
y x
，则 a (a b) =
??15、已知 x, y 满足约束条件 x y 2 ，则目标函数 z ??
最大值和最小
mx y （m∈[﹣1，1]）的
x 2
值的差等于
x2y2b 0) ,点 A、B 在双曲线 C 的左支上，O 为坐标16.已知双曲线C:2-2?1 (a 0,
ab原点，直线BO
与双曲线的右支交于点 M. 若直线 AB 与 AM 的斜率分别为 3 和 1 ，则双曲线的离心率为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分）
在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，满足 btanA=(2c ?b )tanB
（1）求角A ； （2）若 a
13, b 3 ，求△ABC 的面积． 18.（本小题满分 12 分）
某班有 30 名学生，其中有 60%的同学爱好体育锻炼。经体检调查，这 30 名同学的健康指数（百 分制）如下茎叶图所示。体检评价标准指出：健康指数不低于 70 者为身体状况好，健康指数 低于 70 者为身体状况一般。
（1）根据以上资料完成下面的 2× 2 列联表，并判断可否有 99%的把握认为“身体状况好与爱 好体育锻炼有关系”？ 爱好体育锻炼 不爱好体育锻炼 总计 身体状况好 身体状况一般 30 总计 （2）从健康指数高于 90 的 5 人中随机选取 2 人，求这两人中恰好有一人爱好体育锻炼的概率。
19 .（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体 QPABCD 为一简单组合体，在底面 ABCD 中，DAB 60 ，AD DC ，AB
BC ，
QD 平面ABCD ， PA ∥QD ， PA 1 ， AD AB QD 2 .
（1）求证：平面 PAB 平面QBC ；
（2）求该组合体 QPABCD 的体积. 20.（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系中，已知定点 A（1，0)及动点 P，以 PA 为直径的圆恒与 y 轴相切，记动点 P 的轨迹为曲线 C （1） 求曲线 C 的方程；
（2）点 Q（x0,y0)(x0 ≥ 5)是曲线 C 上的点，过点 Q 作圆 E：（x ? 2 ) 的两条切线， 分别与 x 轴交于 M、N 两点，求△QMN 的面积的最小值。
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ax 1 x ln x ，
（1）若函数 f x 0恒成立 求实数 a 的取值范围；
2
+y=4
2
?（2）当 a 1 时，设函数 g x xf x .在 x x0 处取到极小值，求证：
91g(x)?3 32