高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以
为圆心的同心圆系方程
倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线
与圆
的交点的圆系方程为：
，即
⑵过直线
与圆
的交点的圆系方程
………………….①
依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线
⑶过两圆的圆系方程
和圆
的交点上，则，解之可得
又
此圆系方程中不包含圆谨防漏解。 当
时，得到两圆公共弦所在直线方程
，直接应用该圆系方程，必须检验圆
是否满足题意，
满足方程①，则 故
例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为
，即
例1：已知圆标原点，若
，求实数
与直线
的值。
相交于两点，为坐
过直线与圆的交点的圆系方程为
分析：此题最易想到设出
，即
，由得到，利
1
用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心
必在公共弦所在直线
上。即
，则
类型二：直线与圆的位置关系
例5、若直线y?x?m与曲线y?4?x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
代回圆系方程得所求圆方程 解：∵曲线y?4?x2表示半圆x2?y2?4(y?0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范
例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
?x?2y?1?0?x?9解得??x?y?5?0?y??4， 即?围是?2?m?2或m?22.
21?y 变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.
解析：利用数形结合. 答案：－1＜k≤1或k=－2
例6 圆(x?3)2?(y?3)2?9上到直线3x?4y?11?0的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x?3)2?(y?3)2?9的圆心为O1(3,3)，半径r?3． 设圆心O1到直线3x?4y?11?0的距离为d，则d?∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 2x+y－7=0， x=3， ∵m∈R，∴ x+y－4=0， 得 y=1，
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. （2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－
3?3?4?3?113?422?2?3．
如图，在圆心O1同侧，与直线3x?4y?11?0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
1， 2又r?d?3?2?1．
∴l的方程为2x－y－5=0.
评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论
2
∴与直线3x?4y?11?0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线3x?4y?11?0，且与之距离为1的直线和圆的交点．设
所求直线为3x?4y?m?0，则d?m?113?422?1，
的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程(x?3)2?(y?4)2?1． 可设圆的参数方程为?∴m?11??5，即m??6，或m??16，也即
l1：3x?4y?6?0，或l2：3x?4y?16?0．
设圆O1：(x?3)2?(y?3)2?9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则
?x?3?cos?,（?是参数）．
?y?4?sin?,则d?x2?y2?9?6cos??cos2??16?8sin??sin2?
d1?3?3?4?3?63?422?3，d2?3?3?4?3?163?422?1．
?26?6cos??8sin??26?10cos(???)（其中tan??所以dmax?26?10?36，dmin?26?10?16．
4）． 3∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心O1到直线3x?4y?11?0的距离为d，则d?∴圆O1到3x?4y?11?0距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的d是圆心到直线3x?4y?11?0的距离，d?r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离
'3?3?4?3?113?422?2?3．
的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1．
所以d1?32?42?1?6．
'd2?32?42?1?4．
所以dmax?36．dmin?16．
(2) (法1)由(x?2)2?y2?1得圆的参数方程：?则
类型三：圆中的最值问题
例7：圆x2?y2?4x?4y?10?0上的点到直线x?y?14?0的最大距离与最小距离的差是
22解：∵圆(x?2)?(y?2)?18的圆心为（2，2），半径r?32，∴圆心到直线的距离
?x??2?cos?,?是参数．
?y?sin?,y?2sin??2sin??2??t， ．令x?1cos??3cos??3d?102得sin??tcos??2?3t，1?t2sin(???)?2?3t
?52?r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
?2?3t1?t2?sin(???)?1?3?33?3?t?． 44(d?r)?(d?r)?2r?62.
例8 (1)已知圆O1：(x?3)?(y?4)?1，P(x,y)为圆O上的动点，求d?x?y的最大、最小值．
2222所以tmax?3?33?3，tmin?． 44y?2(2)已知圆O2：的最大、最小值，求x?2y(x?2)?y?1，P(x,y)为圆上任一点．求
x?122即
3
y?23?33?3的最大值为，最小值为． x?144
此时x?2y??2?cos??2sin???2?5cos(???)． 所以x?2y的最大值为?2?5，最小值为?2?5． (法2)设图所示，
即m??(1?cos??sin?)恒成立．
∴只须m不小于?(1?cos??sin?)的最大值． 设u??(sin??cos?)?1??2sin(??∴umax?2?1即m?y?2?k，则kx?y?k?2?0．由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x?1?4)?1
2?1．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆(x?a)2?(y?b)2?r2上的点设为(a?rcos?,b?rsin?)(??[0,2?))．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由d?
?2k?k?21?k2?1，得k?3?3． 4所以
y?23?33?3的最大值为，最小值为． x?144令x?2y?t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．
由d??2?m5?1，得m??2?5．
所以x?2y的最大值为?2?5，最小值为?2?5．
22例9、已知对于圆x?(y?1)?1上任一点P(x,y)，不等式x?y?m?0恒成立，求实数m的
取值范围．
22设圆x?(y?1)?1上任一点P(cos?,1?sin?)??[0,2?)
∴x?cos?，y?1?sin? ∵x?y?m?0恒成立 ∴cos??1?sin??m?0
4