第一章半导体中的电子状态
例1.证明:对于能带中的电子，K状态和-K状态的电子速度大小相等,方向相反。即：
v(k)= －v(－k)，并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。 解：K状态电子的速度为：
1?E(k)?E(k)?E(k)v(k)?[i?j?k]h?kx?ky?kz电子的速度则为：
（1）同理，－K状态
1?E(?k)?E(?k)?E(?k)v(?k)?[i?j?k]h?kx?ky?kz看出：
（2）从一维情况容易
?E(?k)?E(k)???kx?kx（3）同理有：
?E(?k)?E(k)???ky?ky（4）
?E(?k)?E(k)???kz?kz（5）将式（3）
（4）（5）代入式（2）后得：
1?E(k)?E(k)?E(k)v(?k)??[i?j?k]h?kx?ky?kz（6）利用（1）式即得：
v(－k)= －v(k)
因为电子占据某个状态的几率只同该状态的能量有关，即：
E(k)=E(－k)故电子占有k状态和-k状态的几率相同，且
v(k)=－v(－k)，故这两个状态上的电子电流相互抵消，晶体中总电流为零。
评析：该题从晶体中作共有化运动电子的平均漂移速度与能量E的关系以及相同能量
状态电子占有的机率相同出发，证明K状态和-K状态的电子速度大小相等，方向相反，以及无电场时，晶体总电流为零。
例2. 已知一维晶体的电子能带可写成：
式中，a为晶格常数。试求： （1） 能带的宽度； （2） 能带底部和顶部电子的有效质量。
h271E(k)?(?cos2?ka?cos6?ka)2m?a88
dE?h23?(2sin2?ka?sin6?ka)2dkm0a4解：（1）由E(k)关系得：
1?(3sin2?ka?sin2?ka)2m0a4?h2（1）
d2E?h21?(18sin2?kacos2?ka?cos2?ka)（2） 22dkm0a21121dE2?0，可得：sin2?ka??cos2?ka??() 令
12dk1211当cos2?ka?时，代入（2）得：
121d2E?h211111111?h2?(18???)??0，对应E(k)的极小值。 222dkm0a121221212m0a11当cos2?ka??12时，代入（2）得： d2E?h211111111?h2?(?18???)???0，对应E(k)的极大值。 222dkm0a121221212m0a根据上述结果，求得Emin和Emax即可求得能带宽度。
Emin32h2711113h71122?[?()]?[?()]22m?a8812m?a812
Emax故：能带宽度?Eh2?moa2?7113?2??()??812?
?Emax?Emin2113h?2()2?2
12m0a（3） 能带底部和顶部电子的有效质量：
2221dE111?k?112??1(mn)带底?[2(2)底]?[2]?4m??4.18m?hdkh12m11 1d2E?1111?2k2?112?(mn)顶?[h2(习题：
1.什么叫本征激发？温度越高，本征激发的载流子越多，为什么？试定性说明之。 答：当半导体的温度T>0K时，有电子从价带激发到导带去，同时价带中产生了空穴，这就是所谓的本征激发。半导体中的价电子没有绝缘体中价电子所受束缚那样强，如果能从外界获得一定的能量，一些价电子就可能挣脱共价键的束缚而成为近似自由的电子。因此温度越高，载流子越多。
)顶]?[2（－）]?－4m??－4.18m?dkh12mo11
22.试定性说明Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数的原因。
答：电子的共有化运动导致孤立原子的能级形成能带，即允带和禁带。温度升高，则电子的共有化运动加剧，导致允带进一步分裂、变宽；允带变宽，则导致允带与允带之间的禁带相对变窄。反之，温度降低，将导致禁带变宽。因此，Ge、Si的禁带宽度具有负温度系数。
3.试指出空穴的主要特征。
答：空穴是未被电子占据的空量子态，被用来描述半满带中的大量电子的集体运动状态，是准粒子。主要特征如下： 1荷正电：+q；○2空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）3EP=-En；○4mP*=-mn*。 ○；○
4.简述Ge、Si和GaAs的能带结构的主要特征。 答：（1）Ge、Si：
1Eg (Si：0K) = 1.21eV；Eg (Ge：0K) = 1.170eV； ○
2间接能隙结构； ○
3禁带宽度Eg随温度增加而减小； ○
（2）GaAs：
1Eg（300K）= 1.428eV，Eg (0K) = 1.522eV； ○
2直接能隙结构； ○
3Eg负温度系数特性：dEg/dT = -3.95×10-4eV/K； ○
5.某一维晶体的电子能带为
E(k)?Eo?1?0.1cos(ka)?0.3sin(ka)?其中E0=3eV，晶格常数a=5×10m。求： （1） 能带宽度； （2） 能带底和能带顶的有效质量。 解：（1）由题意得：
-11
dE?0.1aE0?sin(ka)?3cos(ka)?dkdE22?0.1aE0?cos(ka)?3sin(ka)?2dk
dE?0，得tg(ka)=1/3 令dk∴k1a=18.4349°，k2a=198.4349°
d2E2?40?0.1aE(cos18.4349?3sin18.4349)?2.28?10?0 0当k1a=18.4349°，2dk对应能带极小值。
dk对应能带极小值；o当k1a?18.4349,2?0.1aE0(cos18.4349?3sin18.4349)?2.28?10?0,dE2当k2a?198.4349,2?0.1a2E0(cos198.4349?3sin198.4349)??2.28?10?40?0,dk对应能带极大值。则能带宽度?E?Emax?Emin?1.1384eV（2）
??mn*??则??*?mn??????带底?1?dE?????2?2????h?dk??2?1k1?1?2.28?10???34??6.625?10?40???2????1?1.925?10?27?kg??1带顶?1?dE?????2?2????h?dk??2k2??2.28?10???346.625?10???40????27?kg???1.925?102???
答：能带宽度约为1.1384Ev，能带顶部电子的有效质量约为1.925x10-27kg，能带底部电子的有效质量约为-1.925x10-27kg。
6.半导体的导电机制与其他的材料的不同（载流子） 答：半导体有两种载流子，金属只有一种。 7.Si有8个吸收峰，n型的Ge也是8个。
2?m1dE*mn?2???18.有效质量： dE(coska?cos2ka)速度：hdk2dk2?2k2?2k2E(k)?E(0)??* *9.回旋共振：E(k)?E(0)?2mp2mnqB回旋频率：?c?m*
n
第二章半导体中的杂质与缺陷能级
例1.半导体硅单晶的介电常数?r＝11.8，电子和空穴的有效质量各为mnl＝0.97m?，
mntmmm＝0.19?和pl＝0.16m?，pt＝0.53m?，利用类氢模型估计： （1）施主和受主电离能；
r（2）基态电子轨道半径1。
mn?mp?
思路与解：（1）利用下式求得和。
11121123.849?(?)?(?)??mn3mnlmnt3m?0.980.19m?111211210?(?)?(?)??mp3mplmpt3m?0.160.533m?因此，施主和受主杂质电离能各为：
mn?E?113.6?ED????0.025(eV)22m??r3.84911.8
（2）基态电子轨道半径各为：
mpE?313.6?EA????0.029(eV)22m??r1011.8
?
r1,p??rmorB1/mp??11.8?10?0.53/3?2.08?10?9mr1,n??rmcrB1/mn??11.8?3.849?0.53?2.41?10?9mr式中, B1是波尔半径。
评析：本题须注意的是硅的导带为多能谷结构，价带有两个，所以在计算杂质电离能
和电子轨道半径时，需考虑电子横向有效质量和纵向有效质量，重空穴和轻空穴有效质量。
习题：
1.什么叫浅能级杂质？它们电离后有何特点？
答：浅能级杂质是指其杂质电离能远小于本征半导体的禁带宽度的杂质。它们电离后将成为带正电（电离施主）或带负电（电离受主）的离子，并同时向导带提供电子或向价带提供空穴。
2.什么叫施主？什么叫施主电离？施主电离前后有何特征？试举例说明之，并用能带图表征出n型半导体。
答：半导体中掺入施主杂质后，施主电离后将成为带正电离子，并同时向导带提供电子，这种杂质就叫施主。施主电离成为带正电离子（中心）的过程就叫施主电离。施主电离前不带电，电离后带正电。
例如，在Si中掺P，P为Ⅴ族元素，本征半导体Si为Ⅳ族元素，P掺入Si中后，P的最外层电子有四个与Si的最外层四个电子配对成为共价电子，而P的第五个外层