高等数学模拟卷 1 一 求下列极限 1 lim
1sinn=0（有界量乘无穷小量） n??n?exx?0取什么值，连续 af(x)??二
?a?xx?0f(x)?a?limf(x)，而答：根据函数在一点处连续的定义，lim??x?0x?0x?0x?1xx?0x2 求lim={
x?0x?xlim??1x?0?xlim? 3 求lime={x?01xlimf(x)=limex=1 ??x?0所以 a=1
三 计算下列各题 1
y’=2(sinx·lnx)’=2[(sinx)’(lnx)+(sinx)(lnx)’] =2cosxlnx+2
已
知
x?0?lime??x?0?1xy?2s?xinx
求
y,答：
lime?01x
sinx x4=
limx?0x?sinxx?sin5x 2 已知y?f(ex)?ef(x)，求y,
xsinxxsinx111xxlim?lim?lim?lim???fexex?f?x?x?0x?sinxx?0x?sin5xx?0x 5sin5xx?0x5sin5x663所以y'?xf?x???1?feex5xx5xdyxxf?x?xf?x?dy?fee?e?fee答：由链式法则，
dxdx????????（第一个重要极限）
3求?xex2dx
答：
ex2dx2原式??1x221x22?2?edx?2e?c
四、若2x?tan(x?y)??x?y0sec2tdt，求
dydx
另x-y=m, y=x-m, 对两边求导数，得到dy/dx = 1 - dm/dx 将y = x-m 带回原式，再两边对x求导。可得dm/dx 带回上式可得结果
五 求y?x，y?2x和y?x2所围平面图形的面积
解
：
?1?0??y?y?2??dy??4?1??y?y?2??dy????y2y2?1??3?y2y2???41?2?4???0???3?4?1?3?2??
高等数学模拟卷 2 一 求下列极限
1 lim1n??ncosn=0
?22 求lim2?xx?22?x=lim2?xlim?x＝1x?22?x＝???x?2－2?x
?x?2??lim＝-1x?2＋2?x?1113 求limx?02x=lim??xlim?0?2x??x?02x???1 ??limx?0?2x?04求limx?2sinxx?0x?3sinx
解limx?2sinxx?0x?3sinx＝34
?sinx二讨论f(x)???xx?0在 x=0 处的连续性??0x?0
答：因为f(x)在0点的左右极限都为1，不等于其在0点的函数值，所
以f(x)在0点不连续三 计算下列各题 1 y?ln[ln(lnx)]求y,
y,?1[ln(lnx)].[ln(lnx)]??111[ln(lnx)].lnx.x
2 xy?yx求y,,
解：lnxy?lnyxy.lnx?x.lnyy,.lnx?y1x?lny?y.y?.x
y???lnx?x??y???lny?yxlny?y?y??xlnx?xy2x2四求limx??0cost2dtx?0sin10x
由于分子分母极限都为0，所以可以对分子分母分别求导，得到
Lim( 2x-2xcosx^4)/10sin^9(x)cosx 再对两边求导
五 求y2?2x?5和y?x?4所围平面图形的面积
解：?y2?2x?5y?x?4得交点?3，-1??7，3?
s??3y2?51133?1y?4?2dy?2y2?6y3?2y?1?163六 (x2?1)dydx?2xy?4x2 解：两边同除以(x2?1)得dy2xy4x2dx?(x2?1)?(x2?1)y?ce??p(x)dx＝ce??2xx2?1dx＝ce?lnx2?1?cx2?1
代入原方程得c?(x)?4x24x3?Dc(x)??4x2dx?43x3?D?y?3x2?1
高等数学模拟卷3
一 求下列极限 1 lim1n??ntgn 解：不存在
?x?a2 求limx?ax?a＝??lim＝1x?ax?a=limx?ax?a?x?a＋x?a
???xlima?x?a－x?a??1?1113 求lime2x=lime2x????xlim?0?e2x??x?0x?0?1 ??limx?0?e2x?04limsinmxx?0sinnx?limmxx?0nx?mn
二已知f(x)???xx?0?x2x?0，讨论f（x）在x?0处的导数解：??limf?0??x??f?0??xx?0＋?x??limx?0＋?x?1f?0??x??f?0?x?0-?x?lim?x2lim?x?0-?x?0 ??f(x)在x?0不可导三 计算下列各题
1、已知y?tan3(lnx)求y,
解：y??3tan2(lnx).sec2?lnx?.1x
2、已知y?f(x2)，求y,
解： y?＝f?(x2).2x
四 证明?a3(x2)dx?12?a20xf0xf(x)dx，(a?0)，其中f(x)在
讨论的区间连续。
证明1??xf(x)dx??x2f(x2)dx2002令x2＝u当x?0时u?0,x?a时，u?a222a32a解：令(arctany?x)?u则u??21.y??121?yy???u??1?.?1?y2?1?y2则原方程为?u??1?.?1?y?＝??a0x3f(x2)dx??a0x2f(x2)d12x2?12?a0uf(u)du?1a2?0xf(x)dx
五 计算反常积分???dx??1?x2;
解：???dx??1?x2??0dx??1?x2????dx01?x2?arctanx0?????????arctanx0?????2????? 2
六 求(1?y2)dx?(arctany?x)dy的通解
u?u??1??1uduu?1dx?u变量分离uu?1du?dx两边同时积分得：u?ln?u?1??x?c所以原方程的通解为：(arctany?x)＋ln?arctany?x?1??x?c