试 题 说 明
1.本次数学建模周共有如下十四道题。每支队伍（2-3人/队）请从以下题中任意选取一题，并完成一篇论文，具体要求参阅《论文格式规范》。
2.指导老师会根据题目的难度对论文最后的评分进行调整。
**********以下为lingo或者MATLAB软件实现题目*******
（一）假设你是一家彩票管理中心的负责人。彩票已经全部售出，但彩票奖金不是立刻全部兑付，而是15年内逐年兑付。已经未来15年每年为了支付奖金所需要的现金的确切数字分别是：10，11，12，14，15，17，19，20，22，24，26，29，31，33，36（百万元）。彩票收入除一部分留作基金用于应对未来一系列的付款对现金的需求外，其余部分将上缴国家。为了将尽可能多的彩票收入上缴国家，你计划用成本最小的国债和存款组合来应对未来一系列的付款对现金的需求。你打算用基金的一部分来购买目前正在销售的可靠性较好的两种国债（或之一）：第一种国债的年限为6年，每份价格为0.98（百万元），每年可获得固定息票0.06（百万元）；第二种国债年限为13年，每份价格为0.965（百万元），每年可获得固定息票0.065（百万元）。对于没有购买国债的基金，可以用于短期存款，估计未来15年短期存款的年利率为4%左右。请确定购买国债的数量和用于短期存款的金额。
（二）某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： ? ? ? A B C D E 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元
所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高） 所购证券的平均到期年限不超过5年 证券名称 证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益/ % 4.3 5.4 5.0 4.4 4.5 （1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证
券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
（三）假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前投标人提
交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？ 投标组合包 包含的土地 投标价格
投标人1 投标人1 ABD 95 CDE 80 投标人2 BE 60 投标人2 AD 82 投标人3 BDE 90 投标人3 CE 71 （四）、某投资者有基金10万元，考虑在今后5年内对下列4个项目进行投资，已知：
项目A 从第1年到第4年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115% 项目B 从第3年初需要投资，并于第5年年末回收本利125% 项目C 从第2年初需要投资，并于第5年年末回收本利140%，但按照规定此项投资不能超过3万元
项目D 5年内每年年初可购买公债，当年年末回收本利106% 应如何安排资金，可使第5年年末的资金总额最大？
（五）、某地区有三个化肥厂，除供应外地区需要外，估计每年可供应本地区的数字为：
化肥厂A—7万吨，B—8万吨，C—3万吨。有四个产粮区需要该种化肥，需要量为：甲地区—6万吨，乙地区—6万吨，丙地区—3万吨，丁地区—3万吨。已知从各化肥厂到各产粮区的每吨化肥的运价如下表所示：
产粮区 化肥厂 A B 5 4 8 9 7 10 9 7 9 甲 乙 丙 丁 C 8 4 2 试根据以上资料制订一个使总的运费为最少的化肥调拨方案
（六）、某基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当
天汇率相互兑换，使在满足需求量的条件下，按美元计算的价值最高。设每天的汇率、现有货币和当天需求如下表所示，如1美元兑换0.58928英镑，或1.743马克，等等。假设每天在任两种货币之间只容许兑换一次，问基金管理人应如何操作（“按美元计算的价值”指兑入、兑出汇率的平均值，如1英镑相当于（1.697+（1/0.58928））/2=1.696993美元）？ 现有量 美元 英镑 0.58928 1 0.33808 0.00426 需求量 马克 1.743 2.9579 1 0.0126 日元 138.3 234.7 79.346 1 （1?108） （1?108） 8 1 8 0 6 3 1 10 美元 英镑 马克 日元
1 1.697 0.57372 0.007233 （七）、某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距
离单位：km）和居住的人数（R）如下表所示。现在准备在海岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？ X Y R 1 0 0 600 2 8.20 0.50 1000 3 0.50 4.90 800 4 5.70 5.00 5 0.77 6.49 6 2.87 8.76 700 7 4.43 3.26 600 8 2.58 9.32 800 9 0.72 9.96 10 9.76 3.16 11 3.19 7.20 12 5.55 7.88 1400 1200 1000 1200 1000 1100
（八 ）、（转运问题）设有两个工厂A、B,产量分别为9，8个单位；四个顾客分别为1，
2，3，4，需求量分别为3，5，4，5；三个仓库x,y,z.其中工厂到仓库、仓库到顾客的运费单价见下表所示。试求总运费最少的运输方案以及总运费。 x y z A 1 2 100 B 3 1 2 1 5 9 100
2 7 6 6 3 100 7 7 4 100 100 4 （九 ）、某农户拥有100亩土地和25000元可供投资 ，每年冬季（9月份中旬至来年5
月中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h的劳动时间 ，而夏季为4000h。如果这些 劳动时间有赋予，该家庭中 的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时6.8元，夏季每小时7.0元。
现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要400元的初始投资，每只母鸡需要3元的初始投资，每头奶牛需要使用1.5亩土地，并且冬季需要付出100h劳动时间，夏季付出50h劳动时间，该家庭每年产生的净现金收入为450元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬季0.6h，夏季0.3h，年净现金收入3.5元。养鸡厂房最多只能容纳3000只母鸡，栅栏的大小限制了最多能饲养32偷奶牛。
根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如下表所示。建立数学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。
农作物 大豆 玉米 燕麦
冬季劳动时间/ h 20 35 10 夏季劳动时间 /h 年净现金收入（元/亩） 30 75 40 175.0 300.0 120.0 （十 ）、某电子厂生产三种产品供应给政府部门：晶体管、微型模块、电路集成器。该工程从物理上分为四个加工区域：晶体管生产线、电路印刷与组装、晶体管与模块质量控制、电路集成器测试与包装。
生产中的要求如下：生产一件晶体管需要占用晶体管生产线0.1h的时间，晶体管质量控制区域0.5h的时间，另加0.70元的直接成本；生产一件微型模块需要占用质量控制区域0.4h的时间；消耗3个晶体管，另加0.50元的直接成本；生产一件电路集成器需要占用电路印刷区域0.1h的时间，测试与包装区域0.5h的时间，消耗3个晶体管、3个微型模块，另加2.00元的直接成本。
假设三种产品（晶体管、微型模块、电路集成器）的销售量是没有限制的，销售价格分别为2.0元，8元，25元。在未来的一个月里，每个加工区域均有200h的生产时间可用，请建立数学模型，帮助确定生产计划，使工厂的收益最大。
（十 一） 假设你刚刚成为一家生产塑料制品的工厂的经理。虽然工厂在生产运作中牵涉到很多产品和供应件，但你只关心其中三中产品： （1）乙烯基石棉楼面料，产品以箱计量，每箱覆盖一定面积； （2）纯乙烯基楼顶料，以平方米计量；
（3）乙烯基石棉墙面砖，以块计量，每块砖覆盖1㎡。
在生产这些塑料制品所需要的多种资源中，你已经决定考虑以下四种资源：乙烯基、石棉、劳动力、在剪削机上的时间。最近的库存状态显示，每天有15000kg乙烯基、200kg石棉可供使用。此外，经过与车间管理人员和不同部门的人力资源负责人的谈话，你已经知道每天有3人*日的劳动力和1机器*日的剪削机可供使用。下表中列出了每生产三种产品一个计量单位时所消耗的四种资源的数量，其中一个计量单位分别为1箱楼面料、1㎡楼顶料和1块墙面砖。可供使用的资源的数量也列在表中。建立数学模型，帮助确定如何分配资源，使利润最大。
乙烯基/kg 石棉/kg 3 0 5 200 劳动力 /人*日 0.02 0.1 0.2 3 剪削机 利润/元 0.8 5 5.5 — 机器*日 0.01 0.05 0.05 1 楼面料（箱） 30 楼顶料（㎡） 20 墙面砖（块） 50 可供应量（每1500 天） （十二） 假设你把月工资（5千美元支票，每个月的第一天拿到）以电子方式存入你的现金帐户（money market account ，MMA）,年利率为3%。利息是按照每月你的现金帐户上的最小钱数计算的，并在12月31日进入你的现金帐户。在同一家银行你还有一个支票帐户（checking account,CA），这个帐户没有利息。你总是通过邮寄支票付账，除了支付邮票外从来不用现金，支付邮票的现金是从现金帐户中提取的。所以你必须经常去银行，将现金帐户中的钱转到支票帐户，以便支付住房贷款、固定电话费、有线电视费、移动电话费、上网费、汽车保险、信用卡费以及其他费用，每个月要使用10张支票，共3千美元。此外，每个季度（三月、六月、九月、十二月）你还要使用5张支票支付一些账单，每个季度一共2千美元；每年四月需要分别支付2千美元和5千美元的税单，每年八月还要支付4千美元的税单。最后，在每年的12月31日，你还要签发本年度的最后7张支票，将你的年收入中的其他部分（5千美元减去邮资），捐给你最认可的一些基金会和慈善机构。假设开始时你现金帐户中的钱足够多，所以不需要担心超支。
现在银行提出让你改变这个程序：他们将从现金账户中支付所有的账单，没有手续费。这样，你就没有必要每年填写150张支票和邮寄地址，可以节省邮资和支票。此外，银行将自动在每月的第一天将你的现金账户上的一定数量的钱转到支票账户上，自动在每年的第一天（1月1日）将你的现金账户的一定数量的钱转到支票账户上，不需付出任何费用。如果接受这个方案，你就没有必要再去银行和邮局了。但是，你必须决定每月转账和每年转账的数额a和b。
如果你把每月的工资5千美元全部转到支票账户（a=5，b=0），这样一切都是可行的，但你不能从现金账户获得任何利息。当a很小时，你的支票账户将会超支，从而会引起罚款和其他一系列麻烦，所以你也不希望出现这种麻烦。那么最优解是什么？
（十三）假设某公司在银行有一个现金账户和一个长期投资账户，现金账户利息很低，而长期投资账户利息较高。所有业务往来（收入和支出）只能通过现金账户进行，如果现金账户中钱很多，就可能需要将一部分钱转入长期投资账户；反之，需要将一部分钱从长期投资账户转入现金账户。为简单起见，假设以万元为单位，现金账户的钱数只能是-20，
-10，?,40,50(万元)之一，分别记为状态1，2，?，7，8，他们每个月分别导致的费用如下表所以。此外,根据统计,如果当月现金账户的状态位于i(2?i?7),下个月现金账户的状态只可能位于i?1,i,i?1三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金账户的状态位于1,则下个月现金账户的状态只可能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金账户的状态位于8,则下个月现金状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6.
现金账户的钱数对应的成本
现金数量(万元) 状态 费用 (万元) -20 1 1.4 -10 2 0.7 0 3 0 10 4 0.2 20 5 0.4 30 6 0.6 40 7 0.8 50 8 1 每月初你可以改变当前状态(即从长期投资账户转入现金账户,或从现金账户转入长期投资账户),但假设每次状态的改变需要银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取转账金额5%的转账手续费.请你建立优化模型,确定如果当月现金账户的状态位于i,是否应该改变当前状态,如何改变状态?
（十四）某公司正在考虑在某城市开发一些销售代理业务.经过预测,该公司已经确定了该城市未来5年的业务量,分别为400,500,600,700和800.该公司已经初步物色了4家销售公司作为其代理候选企业,下表给出了该公司与每个候选企业建立代理关系的一次性费用,以及每个候选企业每年所能承揽的最大业务量和年运行费用.该公司应该与哪些候选企业建立代理关系?
候选代理的一次性费用\\最大业务量和年运行费用
年最大业务量 一次性费用/万元 年运行费用/万元 候选代理1 350 100 7.5 候选代理2 250 80 4.0 候选代理3 300 90 6.5 候选代理4 200 70 3.0 如果该公司目前已经与上述4个代理建立了代理关系并且都处于运行状态,但每年初可以决定临时中断或重新恢复代理关系,每次临时中断或重新恢复代理关系的费用如下表所示.该公司应如何对这些代理进行业务调整?
临时中断费用/万元 重新恢复费用/万元
代理1 5 5 代理2 3 2 代理3 4 1 代理4 2 9