第六章 线性系统的校正方法
6-1 已知单位负反馈角度伺服系统的开环传递函数为
k，
s(0.2s?1)(0.5s?1)?要求系统最大角速度输出为12/s，输出角度位置误差小于2?，试求：
(1) 计算满足指标要求的k值，及相应的相角裕度和幅值裕度；
G0(s)?(2) 在前向通路串接超前校正网络
Gc(s)?0.4s?1，
0.08s?1计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。 解(1)： 1/Kv?2/12?1/6；k?Kv?6；
|G(j?c)|?1，36??c2(1?0.04?c2)(1?0.25?c2)，?c?2.924rad/s； ??180???G(j?c)?90??arctan0.2?c?arctan0.5?c?4.1?；
?G(j?x)??180?，arctan0.2?x?arctan0.5?x?90?，?x?3.162rad/s； kx?|G(j?x)|?1?1.167，20logkx?1.34dB。
22222(2)： 36(1?0.16?c)??c(1?0.04?c)(1?0.25?c)(1?0.0064?c)，
?c?3.847rad/s；??29.8?；
arctan0.2?x?arctan0.5?x?arctan0.08?x?arctan0.4?x?90?， ?x?7.38rad/s；kx?3.124，20logkx?9.89dB；
在本题中，超前校正增加系统的相角裕度和幅值裕度。对照本题校正前后的相角裕度和幅值裕度，该超前校正环节提高了系统的稳定裕度。 6-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数
k。
s(s?3)(s?9)(1) 确定k值，使系统阶跃响应的超调量满足??20%；
(2) 根据所求得的k值，计算调节时间ts，及静态速度误差系数Kv；
(3) 设计串联校正装置，使系统的Kv?20s?1，??15%，ts减小一半以上。
G(s)?解：分析闭环主导极点距虚轴约为1.5，而第三个极点距虚轴距离大于9；
exp[???(1??2)?1/2]?0.2，??0.456；?d?0.89?n，s1,2?(?0.456?j0.89)?n；
323222(1) s3和k满足：s?12s?27s?k?s?(0.912?n?s3)s?(?n?0.912?ns3)s??ns3，
得到?n?2.38rad/s，s1,2??1.085?j2.118，s3??9.83； k?55.68；
(2) Kv?2.0622；ts?4/(??n)?3.69s；
(3) 设计指标是时域指标：Kv?20s?1，??15%，ts?1.84s；便于采用根轨迹法设计；
* 计算闭环主导极点：
exp[???(1??2)?1/2]?0.15；??0.55?0.517；(溜有余地)?n?4/(0.55?1.8)?4.04。 s1,2??2.222?j3.374；相应多项式为s2?4.44s?16.32；
* 校正动态特性：
特征多项式满足s(s?a)(s?9)?k?(s?4.444s?16.32)(s?b)；
601
2解得 a?8.026；b?12.582；k?205.338；即 Gc1(s)?* 校正开环增益：Kv?limsGc1(s)G(s)?2.843；
s?0s?3；
s?8.026??20/2.843?6.51；取 z?0.2；p?0.0284；
s?0.2(s?0.2)(s?3)；Gc(s)?Gc2(s)Gc1(s)?；
s?0.0284(s?0.0284)(s?8.026)205.338(s?0.2)校正后开环传递函数为： G(s)?。
s(s?0.0284)(s?8.026)(s?9)Gc2(s)?* 检验：动态校正保证闭环主导极点条件和位置，检查滞后校正环节引起的相角变化，
?Gc2(s1)??(?2.022?j3.374)??(?2.194?j3.374)??2.1?；
影响很小，满足设计要求。
* 精确检验：(计算困难，通常不必作精确检验)
205.338(s?0.2)； 2(s?0.2132)(s?12.5583)(s?4.283s?15.3411)闭环主导极点，s1,2??2.1415?j3.2795；s3?z1??0.2；s4??12.56?5.8?(?2.15)； ?n?3.9168rad/s，??0.547；
??13%，ts?3.5/(??n)?1.63s，Kv?20.02；达到设计指标要求。
闭环传递函数?(s)?6-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数
G0(s)?设计串联超前校正环节，使系统满足：
?(1) 相角裕度??45；
k，
s(s?1)(2) 响应单位速度输入的稳态误差ess?1/15； (3) 剪切频率?c?7.5rad/s。 解：ess?1/Kv?1/k，k?15；
?* ?c0?3.809??c，在??7.5处，??7.6。满足使用串联超前校正的条件；
* ?m?45??7.6?，取?m?45?，
1?sin?m1?0.055，?T?0.321； ?5.828，?m??c?7.5；T?1?sin?m??m15(0.321s?1)0.321s?1；G(s)?； Gc(s)?s(s?1)(0.055s?1)0.055s?1??检验；|G(j7.5)|?1/1.57，??180??G(j7.5)?52.62； ?c?5.28； 剪切频率未达到要求；参数调整如下：取k?15?1.6?24；
24(0.321s?1)调整后，G(s)?；
s(s?1)(0.055s?1)??指标检验：?c?7.61?7.5，??52.5?45，ess?1/24?1/15。
??6-4 已知三个单位负反馈系统的开环传递函数G0(s)和串联校正环节Gc(s)分别如下图所示。求：
(1) 写出各校正系统的开环传递函数；
(2) 分析各系统校正环节对系统的作用及其优缺点。
602
dB dB 26 0.1 0 -20 0.5 1 dB L0 -20 -40 ω 10 0 1 (b) +20 Lc ω 100 -20 Lc 10 20 K0 Kc 0 -20 -20 (a) -40 L0 1 ω1 ω2 T1 1 1 T2 T3 (c) Lc +20 ω3 ω 1/T4 -40 -60 L0 解：(a) G0(s)?20(2s?1)2s?1， G(s)?；
s(10s?1)(0.1s?1)10s?1采用的是滞后校正，使剪切频率减小，?c0?12.496，?c?3.774，有利于抑制高频干扰。
?经计算知，?0?48.7?，??63.3，相角裕度加大，系统稳定裕度提高。
2020(0.1s?1)0.1s?1(b) G0(s)?， Gc(s)?， G(s)?；
s(0.05s?1)s(0.05s?1)(0.01s?1)0.01s?1采用的是超前校正，使剪切频率增加，系统响应速度提高。?c0?15.723，?c?34.03，经计算
?知，?0?61.8?，??85.3；相角裕度加大，系统稳定裕度提高。
K0K(Ts?1)(T3s?1)Gc(s)?c2(c) G0(s)?， ，
(?1s?1)(?2s?1)(?3s?1)(T1s?1)(T4s?1)KcK0(T2s?1)(T3s?1)1G(s)?，?i?，i?1,2,3；
(T2s?1)(?1s?1)(?2s?1)(?3s?1)(T2s?1)?i20，
s(0.1s?1)Gc(s)?采用的是滞后-超前校正，设计较方便。剪切频率增加，系统响应速度提高。保证系统的稳定性。 6-5 已知单位负反馈系统的开环传递函数
G0(s)?40，
s(0.2s?1)(0.0625s?1)(1) 若要求相角裕度>30o，幅值裕度10～12dB，试设计串联超前校正环节； (2) 若要求相角裕度>50o，幅值裕度30～40dB，试设计串联滞后校正环节； (1)解：设校正后的开环传递函数为G(s)?40；于是有：
s(as?1)(bs?1)????180?90?arctan(a?c)?arctan(b?c)?30?，3ab?c2?(a?b)?c?3?0；
40|G(j?c)|??1，?c2(a2?c2?1)(b2?c2?1)?1600；
?c?a2?c2?1?b2?c2?1?90??arctan(a?x)?arctan(b?x)??180?，?x?1/ab；
a?ba?b20log|G(j?x)|?1?20log?(126.5?159)?C； ；可取
40abab可知，计算相当烦琐。
40；
s(0.03s?1)(0.01s?1)?检验：计算得?c?28.99rad/s；??32.8；?x?57.735rad/s；
20logkx?20log(57.735?2?1.1547/40)?10.46?10dB；
(0.2s?1)(0.0625s?1)答案：所求超前校正网络为Gc(s)?，两级串联超前校正网络。
(0.03s?1)(0.01s?1)试探选取a?0.03和b?0.01 (C?133.33)；即G(s)?
603
40；
s(0.032s?1)(0.008s?1)?检验：计算得?c?28.71rad/s；??34.5；?x?62.5rad/s；
20logkx?20log(62.5?2.236?1.118/40)?11.83dB，10?20logkx?12；
(0.2s?1)(0.0625s?1)对应的超前校正网络为Gc(s)?，两级串联超前校正网络。
(0.032s?1)(0.008s?1) (2) 本题对幅值裕度要求很高。考虑滞后校正对?x处的相角影响，取校正后?x?8.5rad/s；
??有?G0(j8.5)??90?arctan1.7?arctan0.531??177.5；留有?Gc(j8.5)??2.5；
据幅值裕度要求20logkx?30~40；取kx?57；|G0(j8.5)|?40?(8.5?1.97?1.13)?2.11； 再由|Gc(j8.5)|?|G0(j8.5)|?1/57得知??120；此时可计算校正后的剪切频率，
??得?c?0.3325rad/s；及?G0(j?c)??95；留给滞后校正环节的相角等于35。 由于??120过大，且?c?0.3325rad/s又很小，需要采用三级滞后校正，参数分配为
???1??2??3?6?5?4?120
计算各校正环节参数时，准确保证?i的值，并限制滞后相角。计算得到：
10s?115s?120s?1；Gc2(s)?；Gc3(s)?； Gc1(s)?76.4s?180.9s?162.6s?1选取a?0.032和b?0.008(C?156.25)；即G(s)?检验校正环节：
|Gc1(j0.3325)|?1/6.002；|Gc2(j0.3325)|?1/4.998；|Gc3(j0.3325)|?1/4.003；
?Gc1(j0.3325)??14.0?； ?Gc2(j0.3325)??9.1?； ?Gc3(j0.3325)??11.5?；
?则有 ??180?95?14?9.1?11.5?50.4；
??Gc1(j8.5)??0.57?；?Gc2(j8.5)??0.36?；?Gc3(j8.5)??0.46?；即?Gc(j8.5)??1.39； 计算表明,校正后?x在8.5~8.9间，按?x?8.5rad/s计算，
|G0(j8.5)|?|GC(j8.5)|?2.11?(6.26?5.09?4.14)?1/62.52；20log(62.52)?35.9dB；
检验结果表明设计满足要求，校正环节为：
Gc(s)?(10s?1)(15s?1)(20s?1)(10s?1)(15s?1)(11s?1)或Gc(s)?。
(62.6s?1)(76.4s?1)(80.9s?1)(62.6s?1)(76.4s?1)(45.5s?1)G0(s)?8(10s?1)(2s?1)，Gc(s)?。
s(2s?1)(100s?1)(0.2s?1)8(10s?1)；校正前后的对数渐近幅频特性依次为，
s(100s?1)(0.2s?1)dB ω -40 -20 -40 0.01 0.1 0.5 1 0.01 0.1 -20 1 5 ω -40 6-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数和采用的滞后-超前校正环节为：
试绘制系统校正前后的对数渐近幅频特性，并计算系统校正前后的相角裕度。 解：校正后开环传递函数为 G(s)?
dB -20 ?近似计算：20log(8/0.5)?40log(?c0/0.5)?0，?c0?2，?0?14.04；
20log(8/0.01)?40log(0.1/0.01)?20log(?c/0.1)?0，?c?0.8，??74.5?；
604
精确计算：|G0(j?c0)|?1，
|G(j?c)|?1，
?c0?1.969， ?0?14.25?； ?c?0.796， ??74.5?。
G0(s)?k；
s(s?1)(0.25s?1)6-7 已知单位负反馈系统的开环传递函数
设计串联校正环节满足：
?(1) 静态速度误差系数Kv?5s?1，相角裕度??45；
?(2) 静态速度误差系数Kv?5s?1，相角裕度??45，且剪切频率?c?2rad/s。
(1)解：未要求剪切频率指标，采用滞后校正最为方便。
k?Kv?5；
?据 ??180???G0(j?c)??Gcz(j?c)?45?，?Gcz(j?c)??5，计算?c，?c?0.61；
Ts?1|G0(j0.61)|?6.918； Gcz(s)?；T?c?10，T?16.4；
?Ts?1100?2?1|G0(j0.61)Gcz(j0.61)|?1，?6.918，??6.952，?T?114；
1015(16.4s?1)16.4s?1，G(s)?； Gcz(s)?s(114s?1)(s?1)(0.25s?1)114s?1?验算：?Gcz(j0.61)??4.88?，?G0(j0.61)??130.05?，??45.07；Kv?5。设计达标。 (2)解：采用滞后-超前校正。k?Kv?5；
*计算超前校正参数：?G0(j2)??180?，?Gcz(j2)??5?，?m?50?；
??(1?sin?m)/(1?sin?m)?7.55，T?(??c)?1?0.18，?T?1.4?1.359；
1.4s?1超前校正环节 Gcc(s)?；
0.18s?1*计算滞后校正参数：|Gcc(j2)G0(j2)|?2.7975，T?10/2?5； 100?2?1/101?2.7975，??2.81，?T?14.05；
(5s?1)(1.4s?1)5(5s?1)(1.4s?1)Gc(s)?，G(s)?；
(14.05s?1)(0.18s?1)s(14.05s?1)(s?1)(0.25s?1)(0.18s?1)验算：|G(j2)|?0.99988；?Gcz(j2)??3.67?，?Gcc(j2)?50.55?， ?c?2rad/s；??46.88?；Kv?5。设计达到指标要求。
6-8 下图给出三个由最小相位环节组成的串联校正环节的频率特性。 0.1 dB -60 1 -20 -40 -60 dB -40 100 ωdB -60 1 +20 100 ω-60 -40 -40 1 -20 2.0 +20 40 100 0.1 0.1 -20 ω
-60 (a) (b) (c) 605