第二章 静电场 练习题及参考答案
1、均匀带电导体球，半径为a，带电量为Q。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）
?E?0r?a?r?（2）D?D0e?2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为 E??Q?re24?rr?a
?q4??0r2?r e（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 解:（1）
y?C1xz?C2y 式中，C1,C2为任意常数。
（2）电力线图所示。
图18-2
?25?r2，求 3、用球坐标表示的场E?er（1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的E； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的Ex分量
解：（1）E?
（2）Ex?251? r223225xE??， x20r3 4、两点电荷q1??4C，位于x轴上x?4处，q2?4C位于轴上y?4处，求空间点?0,0,4?
处的（1）电位；（2）该点处的电场强度矢量。 解：（1）??0,0,4??0
?（2）E?q14??r301?r1?q24??r302?r2?264??0??ex?y? ?e5、一个点电荷?q位于??a,0,0?处，另一个点电荷?2q位于?a,0,0?处，其中a?0。求 （1） 求出空间任一点?x,y,z?处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。 解：（1）建立如图18-1所示坐标
空间任一点的电位 ??q?12???? ??4??0?r2r1??其中，r1??x?a?2?y2?z2 ，r2?x?a?2?y2?z2
（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的?q的左侧，设位于x处，则在此处电场强度的大小为 E?q?12??? ?22?4??0???x?a??x?a??令上式等于零得
1?x?a?2?2?x?a?2
求得 x??3?22a
6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为?，半径为a，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度 解：（1）D??????3r r?a
??a3?r （2）当r?a时，E?3?0r37、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为?l，如图所示，求 （1） 空间任一点处的电场强度；
（2） 画出其电力线，并标出其方向。 解（1）
??rE?e
?l2??0r
（2）其电力线如图2所示。
8、设z?0为两种媒质的分界面，z?0为空气，其介电常数为?1??0，z?0为介电常数
图1 图2 ??x?e?z，求 ?2?5?0的媒质2。已知空气中的电场强度为E1?4e（1）空气中的电位移矢量。 （2）媒质2中的电场强度。
??解：（1）空气中的电位移矢量 D1??0E1
?x??0e?z ?4?0e（2）由边界条件
切向分量 E2x?E1x?4 法向分量 D2z?D1z??0
故： E2z?D2z/?2?1 5?x? 得媒质2中的电场强度为： E2?4e?1?z e59、电偶极子电量为q，正、负电荷间距为d，沿z轴放置，中心位于原点，求出空间任一点P?x,y,z?处的电位表达式。
图1 解：??x,y,z??其中，
q4??0r2?q4??0r1
r1?x2?y2??z?d/2?2222r2?x?y??z?d/2?
10、同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求r?a处的电场强度 （2）求a?r?b处的电位移矢量
解：（1）导体内部没有电荷分布，故内导体内部r?a处
的电场强度处处为零。
（2）设单位长内导体表面电荷密度为?l，由电荷的分布对
图2
称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿
?r，在底面半径为r长度为L的柱体表面使用高斯柱面径向e定理得：
???E?dS?s侧面???E?dS?顶面???E?dS?底面???E?dS
?2?rLEr?0?0??lL/?0可得a?r?b任一点处的电场强度为：
??rE?e??再由 U??E?dr?r?ab?l 2??0r?l?lbdr?ln ?2??r2??a00r?ab得a?r?b任一点处的电位移矢量为：
???r D??0E?erln?b/a??0U
11、自由空间中一点电荷电量为2C，位于S?1,2,1?处，设观察点位于P?3,4,5?处，求 （1）观察点处的电位 （2）观察点处的电场强度。
解：（1）任意点?x,y,z?处的电位
??x,y,z??将观察点代入
q4??0?x?1?2??y?2???z?1?22
??3,4,5???24??01?3?1?2??4?2?2??5?1?2
46??0??x?2e?y?e?z （2）源点位置矢量 rs?e?x?4e?y?5e?z 场点位置矢量 rf?3e点电荷到场点的距离矢量
?????x?2e?y?4e?z R?rf?rs?2eR?26
?E(3,4,5)??q4??0R31486??0?R??e?y?2e?z??e
x12、平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，如图所示。设x?d的极板上的自由电荷总量为Q，求
（1）电容器间电场强度； （2）电容器极板间电压。 解：（1）建立如图所示坐标。
设上极板的电荷密度为?，则
??Q ab极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为
???0En?Q ab由于平行板间为均匀电场，故