八．线性变换
??1?为一实数，试计算limn????????n??n1.（中国科学院2006）若???1解 令A???????nn??。 1?????n????，容易求得A的两个特征值为1?i,1?i，相应的特征向量为
nn1????1??i??1i?1?1?i??1i??1 ?i?,?1?。令P??i1?，则P??i1??2??i1?，使得 ???????????n????(1?i)0???1?ninnA?P??P?1， A?P?????001?i???n???????1n?1???e?i(1?i)? 注意lim， limn????nn??n???i?????????1?P。 ?(1?i)n??n?0?n?i?ilim(1?n???ni)n?e??i，所以
?i1i?e??nA????limn???i1??00?1?1?i??? ??i?e?2??i1?????i?i?ie?1?e?i?e ?2?ie?i??i?i?ie?e??isi?e?co?????ine???si?s?i?n?c?o?s。
2.（华南理工大学2006）设V?Mn(F)表示数域F上n阶全体矩阵的向量空间。
定义：?(A)?AT,?A?Mn(F)。 （1）证明：?是线性变换； （2）求?的全部特征子空间； （3）证明：?可对角化。
证明 （1）?A,B?Mn(F),?k?F，有
TTTTT?(kA)?(kA)?kA?k?(A)， ?(A?B)?(A?B)?A?B??(A)??(B) ，
所以?是线性变换；
（2）设?是?的特征值，A为对应于?的特征向量（某个非零矩阵），则
2 ?(A)??A，?2(A)??2A?(AT)T?A，于是??1，得???1。
若??1，则A?AT，满足这样条件的矩阵空间的一组基为 Eii(i?1,?,n)，Eij?Eji(i?j)，
n(n?1)n2?n? 共有n?，于是属于特征值1的特征子空间就是由以上矩阵生成的 22 线性空间。
若???1，则A??AT，满足这样条件的矩阵空间的一组基为Eij?Eji(i?j)，共
n2?n有个，于是属于特征值-1
2的特征子空间就是由Eij?Eji(i?j)生成的子空间。
（3）注意?的全部线性无关的特征向量为
Eii(i?1,?,n)，Eij?Eji(i?j)，Eij?Eji(i?j)，
n2?nn2?n??n2个。又dimV?dimMn(F)?n2，所以?可对角化。 共有22
3.（北京大学2002）设正整数n?2，定义Mn(F)到Mn(F)的变换如下：
?)n?n， ?(aij)n?n?Mn(F) ?((aij)n?n)?(aij?aij,i?j??? 其中aij。
i?tr(A),i?j? （1）证明：?是Mn(F)上的线性变换； （2）求出Ker(?)的维数与一组基； （3）求出?的全部特征子空间。
解 （1）由题知?(A)??aijEij??i?tr(A)Eii。 ?A,B?Mn(F),?k?F，有
i?ji?1n ?(A?B)??(aij?bij)Eij??i?tr(A?B)Eii
i?ji?1n??aijEij??i?tr(A)Eii??bijEij??i?tr(B)Eii??(A)??(B)；
i?ji?1i?ji?1nn 同理有?(kA)?k?(A)，所以?是Mn(F)上的线性变换；
（2）由?(A)??aijEij??i?tr(A)Eii?0得aij?0(i?j),tr(A)?0。由tr(A)?0即
i?ji?1n a11?a22???ann?0，
上式看作a11,a22,?,ann的线性方程组，它的解空间是n?1维的，也就是Ker(?) 的维数是n?1维的，且Ker(?)的一组基为E11?Eii,i?2,3,?,n. （3）由（2）?的属于特征值0的特征子空间V0就是
Ker(?)=?E11?E22,E11?E33,?,E11?Enn?， dimV0?n?。1
若矩阵A的非对角元不全为零，要使?(A)??A，由?的定义只能??1，这样? 的特征值只有0和1，且属于特征值1的一组线性无关的特征向量为Eij?i?j?。 另外显然有?(E11)?1?Eii，所以E11也是属于1的一个特征向量，这样?的属于特征 值1的线性无关特征向量共有n2?n?1个，与属于特征值0的n?1个特征向量合
2n在一起正好个。属于特征值1的特征子空间V1??E11,Eij?i?j??，V0,V1即为?
的全部特征子空间。
4.（华中科技大学2002） 设V是数域上次数小于n的全体多项式及零多项式 构成的向量空间，定义V上的线性变换：?(f(x))?xf?(x)?f(x)，
?1(1) 求?的核?(0)与值域?(V)；
（2）证明：V???1(0)??(V).
2n?1 解 （1）1,x,x,?,x是V的一组基，那么
??V????(1),?(x),?(x2),?,?(xn?1)?
121,(xn?2???)xx1?,3xn,??,， ???1,x2,x23?,n? , 所以dim??V??n?1。因为dim??1(0)?dim??V??dimV?n，所以dim??1(0)?1。
?1而??x??0?x??(0)，于是??1(0)??x?。
（2）V??1,x,x2,?,xn?1???x???1,x2,?,xn?1????1(0)???V?，结论成立。
5.（中山大学2007）设A是一个n阶实对称矩阵，?是A的最大特征值，证明：
1n n?aij??。
i,j?1?1???nn1T?axx?XAX证明：注意?aij??11?1?A?，相当于在二次型?ijij???i,j?1i,j?1???1??1???1??中取X????。
???1? 由A是n阶实对称矩阵得，存在正交矩阵P，令X?PY使得
2222XTAX??1y12??2y2????nyn??(y12?y2???yn)。
?1??1??1????????1?1?T?1?TT?1?Y?P?P 令??????，则YY??11?1?PP????n，代入上式得 ??????11?????1??1???nn11aij??。 aij??11?1?A????n，即????ni,j?1i,j?1???1??
6.（武汉大学2005）设A是n阶矩阵，?0是A的n重特征值，rank(?0I?A)?n?1， （1）求使(?0I?A)m?0的最小正整数m； （2）证明：(?0I?A)n?1必有一个列向量是A的属于?0的特征值。
证明 （1）由rank(?0I?A)?n?1得对应于?0的Jordan块只有一个，又由于?0是A 的n重特征值，所以存在可逆矩阵P，使得
??01?0??01?0?????0???00??0?1?1???J?P(?0I?A)P??PAP? ，????1?， ????1??????0?00??0?0?0?m于是 (?0I?A)n?1?0,(?0I?A)n?0，n是使(?0I?A)?0的最小正整数。
（2）由（1）(?0I?A)n?1?0，(?0I?A)n?(?0I?A)(?0I?A)n?1?0，
那么(?0I?A)n?1的列向量都是齐次线性方程组(?0I?A)X?0的解，因此(?0I?A)n?1 的非零列向量（至少有一个）是A的属于?0的特征值。
7.（华中科技大学2005）设A是n阶不可逆矩阵，证明：A的伴随矩阵A*至少有
n?1个特征值为0，另一个非零特征值（如果存在）等于A11?A22???Ann。
证明 由A是n阶不可逆矩阵，那么r(A)?n。 若r(A)?n?1，那么A*是零矩阵，结论成立。
若r(A)?n?1，注意到|A|?0，那么AA*?|A|I?0。于是A*的列向量都属于Ax?0 的解空间，而Ax?0的解空间的维数为n?r(A)?1，那么r(A*)?1。由r(A)?n?1 知A*不是零矩阵，有r(A*)?1。那么A*的属于特征值0的Jordan块有n?1个， 因而A*的属于特征值0的重数至少为n?1。那么A*的最后一个特征值?满足
tr(A*)?A11?A22???Ann???0???0??，即??A11?A22???Ann。
8.（中南大学2002） 设n阶矩阵A有n个特征值互异，且B与A有相同的特征值， 证明:存在n阶可逆矩阵P及n阶矩阵Q，使得A?PQ,B?QP.
证明 由A有n个特征值互异得，A与对角矩阵相似。B与A有相同的特征值表明，
B也与对角矩阵相似，且相似于同一个对角矩阵D，即存在可逆矩阵P,Q，使得
?1?1?1?1AP?DQPAPQ?B。 QBQ?D P，，11111111?1?1?1PA?Q，于是A?PQ,B?QP. ?PPAP?B 令PQ，则。令11
9.（上海交通大学2004）设三个n阶矩阵A,B,C满足：（1）CB?0；（2）r(A)?r(B)。 证明：A与C至少有一个公共的特征向量。
证明：由CB?0有r(C)?r(B)?n，再由r(A)?r(B)有r(C)?r(A)?n, 推出A与C都不 可逆，因而它们有共同特征值0。不妨设Ax?0,Cx?0的解空间分别为V1,V2， 那么有 dimV1?dimV2?n?r(A)?n?r(C)?n。
注意到V1?V2?V，显然有dim(V1?V2)?dimV?n。利用维数公式