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主编：陈治荣 主审：罗文亚
学习宣言： 自信、阳光、快乐，是学好的基础！ 一、行程学 习 目 录 问题………………………………… 二、火车行程问题…………………………… 三、算式谜…………………………………… 四、包含与排除……………………………… 五、估值问题………………………………… 六、简单列举………………………………… 七、最大最小问题…………………………… 八、置换问题………………………………… 九、推理问题………………………………… 十、杂题………………………………… 学习提示：提升自我和挑战难关属于较难题目 一、行程问题 知识要点： 1、追及问题一般是指___________________________________。 2、追及问题的基本数量关系是___________________________。 3、解答“追及问题”，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为__________________________________。 4、行程问题大致分为以下三种情况： （1）、相向而行 （2）、相背而行 （3）、同向而行 例题精讲：
例1、 中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向
开出，且中巴车在前。求几小时后小轿车追上中巴车？
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例2、 甲、乙、丙三人都从A地到B地，早晨六点钟，甲、乙两人一起从A地出发，甲每小时走5
千米，乙每小时走4千米。丙上午八时才从A地出发，傍晚六点，甲和丙同时到达B地，问丙什么时候追上乙的？
例3、 客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两
车相遇后又以原速前进。到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。甲、乙两站间的路程是多少千米？
例4、 两地相距460千米，甲列车开出2小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车
相遇。已知列车每小时比乙列车多行10千米。求甲列车每小时行多少千米？
例5、 一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。到乙地后又以每小时30千米的速度返回
甲地，往返一次共用7.5小时。求甲、乙两地间的路程。（列方程解答）
例6、 快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。途中快车因
故停留3小时。结果两车同时到达B地。求A、B两地间的距离。（列方程解答） 轻松练习： 1、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米；哥哥在后，每分跑1401米。几分钟后哥哥追上弟弟？ 2、客车、货车、小轿车都从A地到B地，货车和客车一起从A地出发，货车每小时行50千米，客车每小时行60千米，2小时后，小轿车才从A地出发，12小时后，小轿车追上了客车，问小轿车在出发后几小时追上了货车？ 3、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地之间的路程。 4、师、徒二人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务。已知徒弟每小时比师傅少做3个，师傅每小时做多少个零件？ 5、一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，返回时逆风，每小时可飞1200千米。这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞？（列方程解答） 6、甲每分钟行120千米，乙每分钟行80千米，二人同时从A店出发去B店，当乙到达B店时，甲已在B店停留了2分钟，A店到B店的路程是多少米？ 提升自我： 1、在一个400米的环形跑道上兄弟两人同时从同一地点、同方向出发，哥哥10分钟后从弟弟的身后追上弟弟，如果两人同时从同一地点反向而行，只要4分钟两人就相遇，求兄弟两人的速度。 2、A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙两人相向而行。已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米、100米，当乙和丙相遇时，甲落后于乙多少米？ 二、火车行程问题 知识要点： 1、有关火车过桥、火车穿隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。 2、解答火车行程问题可记住以下几点： （1）、火车过桥（或隧道）所用的时间=（桥或隧道长+火车车身长）÷火车的速度； （2）、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和； （3）、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。 例题精讲：
例1、 甲火车长210米，每秒行18米，乙火车长140米，每秒行13米。乙火车在前，两火车在双
规车道上行驶。求甲火车从后面上到完全超过乙火车要用多少秒？
例2、 一列火车长180米，每秒钟行25米。全车通过一条120米的山洞，需要多少时间？
例3、 一列过车穿过长2400米的隧道需1.7分钟，以同样的速度通过一座长1050米的大桥需48
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秒，这列火车长多少米？
例4、 一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只
用了1分钟。求这列火车的速度。
例5、 甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙车，
若两列车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙，求甲列车和乙列车各长多少米？
轻松练习：
1、一列快车长150米，每秒行22米，一列慢车长100米，每秒行14米。快车从后面追上慢车到超过慢车，共需要几秒钟？
2、一座大桥长2100米。一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，、从车头上桥到车尾离开共用3.1分钟，这列火车长多少米？
3、有两列火车，一列长360米，每秒行18米，另一列长216米，每秒行30米。现两列车相向而行，从相遇到相离一共需要几秒钟？ 4、一列火车长900米，从路边的一颗大树旁通过了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。求这座大桥的长度。 5、快车每秒行18米，慢车每秒行10米。两列火车同时同方向齐头并进，行10秒钟后快车超过慢车；如果两列火车齐尾并进，则7秒钟后快车超过慢车。求两列火车的车长。 6、王叔叔沿铁路边散步，他每分钟走50米，迎面驶来一列长280米的列车，他与列车车头相遇到与车尾相离共用了半分钟，求这列火车的速度。 提升自我： 1、一列快车长200米，每分钟行驶20米；一列慢车长160米，每分钟行驶15米。若两列车齐头并进，则快车超过慢车要多少时间？若两车齐尾并进，则快车超过慢车要多少时间？ 2、老李沿着铁路散步，他每分钟走60米，迎面过来一列长300米的火车，他与火车头相遇与车尾相离共用了20秒，求火车的速度。 三、算式谜 知识要点： 1、算式谜一般是指_____________________________________的算式。解决这类问题，可以根据四则运算的规定、四则运算算式或其中的数量管制以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。 2、解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意： （1）、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断； （2）、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字； （3）、算式谜解出后，务必要验算一遍。 例题精讲： 例1、 有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4
倍。求原六位数。
例2、 下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算是写完整。
2 8 5 × □ □ _______________
1 □ 2 □ □ □ □
_______________ □ 9 □ □
例3、 右下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两
位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0—9十个数
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字组成。
例4、 把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字填入下面的括号里，使三个等式都成立。
（ ）＋（ ）=（ ） （ ）－（ ）=（ ） （ ）×（ ）=（ ）
例5、把2,3,4,5,7,9这六个数字分别填在六个（ ）里，使乘积最大，应该怎样填？
（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ）（ ）
轻松练习：
1、下面竖式中每个汉字表示一个数字，不同的汉字表示不同的数字，清说出各个汉字分别表示什么数字？
2 华 罗 庚 金 杯 × 3 ____________________ 华 罗 庚 金 杯 2 2、在算式的（ ）里填上合适的数字。 （ ） 2 （ ）（ ） × （ ） 6 ___________________________________ ( ) ( ) 0 4 ( ) ( ) 7 0 ____________________________________ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3、将1—9九个数字填入下列的○中，使等式成立，可重复使用。 ○○○×○○=○○×○○=5568 4、将0,1,2,3,4,5,6填到下列可填一位或两位数的算式中，使等式成立。 ○×○=○=○÷○ 5、用9,8，2,1四个数字组成两个两位数，并且使它们的积最大。 （ ）（ ）×( )( ) 提升自我： 1、下面算式中每个字母代表一个数字，请确定abcxyz这个六位数是几？ 7×abcxyz=6×xyzabc 四、包含与排除 知识要点： 1、集合是指________________________________________，它是数学中的最基本的概念之一。 2、_____________________称为这个集合的元素， 3、两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。 4、计算集合C的元素的个数的思考方法主要是____________：先把A、B一切元素都________进来加在一起，再_______________A、B两集合的公共元素的个数，即_______________。 例题精讲：
例1、 五年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年报》,有48人订了《小学生报》，问两种
刊物都订的有多少人？
例2、 某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人
懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
例3、 在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有懂英语又懂日语的
老师，问只懂英语的老师有多少人？
例4、 学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加
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象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人?
例5、 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有
16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
轻松练习：
1、一个班有学生52人，参加体育代表队的有40人，参加文艺代表队的有33人，并且每个人都至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？
2、一个少儿俱乐部有92人，其中会下象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋，两种棋都会下的有多少人？
3、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学上多少人？
4、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？ 5、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一颗，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问只做队第一题的有多少人？ 6、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。 7、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？ 8、老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问两样都得90分以上的有多少人？ 提升自我： 1、五（1）班有56名同学，只会打乒乓球的28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，仅会打羽毛球的有多少人？ 五、估值问题 知识要点： 1、估算就是___________________，不仅现在，就是今后科学技术相当发达了，这类计算仍然十分必要。如果我们的计算结果与粗略估计大相径庭，就说明我们的计算过程必然有错。 2、估算采用的方法是： （1）、省略尾数取近似值； （2）、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。 例题精讲： 例1、 ÷ 例2、 ×○×○里填“＞”“＜”或“＝”。 例3、 不计算出结果，仔细想一想，尽快选择“＞”“＜”或“＝”符号填在（ ）里。 （1）、0.1÷0.01×0.001÷0.0001（ ）10×1 （2）、38.45÷0.93（ ）38.45×0.93 （3）、18.74×5.6（ ）187.4×56÷100 （4）、93.86×58.4+3（ ）93.86×（58.4+3）
例4、在六位数“1995□□”的方框里填上适当的数字，使它能同时被7,8，9整除。
例5、从装有写着1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片中，一次取出6张，计算它们的和，最多有多少
种不同的和？ 轻松练习： ÷ ××
3、下列算式中，商最小的是（ ）。