§3.4 等价关系与划分
习题3.4
1. 对于给定的集合A和其上的二元关系R，判断R是否为等价关系。
（1）A为实数集，?x，y?A，xRy?x?y?2。
，2，3}，?x，y?A，xRy?x?y?3。 （2）A?{1（3）A?Z，即正整数集，?x，y?A，xRy?xy是奇数。
?（4）A?P(X)，集合X的基数|X|?2，?x，y?A，xRy?x?y?y?x。 （5）A?P(X)，集合X和C满足C?X，?x，y?A，xRy?x?y?C。 解 略
2. 设A?{a，b，c，d}，对于A上的等价关系
R?{?a，b?，?b，a?，?c，d?，?d，c?}?IA
画出R的关系图，并求出A中各元素关于R的等价类。
c d 解 R的关系图如下：
a b A中各元素关于R的等价类分别为：
[a]?[b]?{a,b}，[c]?[d]?{c,d}
3. 考虑单词的集合W?{sheet，last，sky，wash，wind，sit}。R1和R2分别是由“具有同样多的字母”和“具有相同的开头字母”定义的等价关系。求由R1和R2确定的商集W/R1和W/R2。
解 略
4. 给出模6同余关系，并求出所有的模6同余类。
解 模6同余关系R?{?a，b?|a，b?Z?a?b(mod6)} 所有的模6同余类为：
[i]?{5z?i|z?Z}，i?0，1，?，5
即
[0]?{?,?20,?15,?10,?5,0,5,10,15,20,?} [1]?{?,?19,?14,?9,?4,1,6,11,16,21,?}
[2]?{?,?18,?13,?8,?3,2,7,12,17,22,?} [3]?{?,?17,?12,?7,?2,3,8,13,18,23,?}
[4]?{?,?16,?11,?6,?1,4,9,14,19,24,?}
?1，2?，?2，4?，?3，4?，?4，6?，?5，6?，?}，判断5. 设A?{?0，2?，下列关系是否等价关系，若是等价关系，试给出它的等价类。
（
1
）
R?{??x1，x2?，?y1，y2??|?x1，x2?，?y1，y2??A?x1?y2?x2?y1}
（
2
）
R?{??x1，x2?，?y1，y2??|?x1，x2?，?y1，y2??A?x1?y1?x2?y2}
解 略
6. 假如R和S是集合A上的等价关系，问下面的关系是否一定是等价关系，是的给予证明，不是的举出反例。
（1）R?S （3）R
c
（2）R?S
?1
（4）R?S
（6）R
（5）R?S
解 （1）、（2）、（3）、（4）略
（5）R?S不一定是等价关系，例如：取集合A?{a，b，c}及其上的等价关系
R?{?a,a?,?a,b?,?b,a?,?b,b?,?c,c?} S?{?a,a?,?b，b?,?b,c?,?c,b?,?c,c?}
有R?S?{?a,a?,?a,b?,?a,c?,?b,a?,?b,b?,?b,c?,?c,b?,?c,c?}，它不是对称的，从而不是等价关系。
（6）R?1一定是等价关系，证明如下：
?1?x?A，因为R是自反的，所以?x,x??R，从而?x,x??R，即R?1是自反的；
??x,y??R?1，有?y,x??R，因为R是对称的，所以?x,y??R，从而
?y,x??R?1，即R?1是对称的；
??x,y?,?y,z??R?1，有?y,x?,?z,y??R，因为R是传递的，所以?z,x??R，从而?x,z??R?1，即R?1是传递的；
综上所述，若R是集合A上的等价关系，则R
7. 当我们构造一个关系的自反闭包的对称闭包的传递闭包时，一定得到一个等价关系吗？是的请证明，不是的请举出反例。
解 略
8. 假如R1和R2是集合A上的等价关系，?1和?2分别是对应于R1和R2的划分。证明
?1一定是等价关系。
R1?R2当且仅当?1是?2的加细。（如果在划分?1中的每个集合都是划分?2中某个集合
的子集，则?1叫做?2的加细）
证明 （1）由R1?R2推出?1是?2的加细，这就是要证明对于?1中的任何集合A1，在?2中都存在集合A2，使得A1?A2。
因为?1中的任何集合A1是A中的某个元素a关于等价关系R1的等价类，即
A1?[a]R1?{b|?a,b??R1}
现构造
A2?[a]R2?{b|?a,b??R2}
它是A中元素a关于等价关系R2的等价类，从而是?2中的一个集合。又由于R1?R2，所以有A1?A2。
（2）由?1是?2的加细推出R1?R2，这就是要证明如果对于?1中的任何集合A1，在
?2中都存在集合A2，使得A1?A2，那么R1?R2。
??a,b??R1，有[a]R1?[b]R1，所以在?1中存在集合A1?[a]R1?[b]R1，使得
根据条件，在?2中存在集合A2使得A1?A2，从而a,b?A2。由于A2是A中某个元
a,b?A1。
素关于等价关系R2的等价类，根据等价类的定义，有?a,b??R2。所以R1?R2。