§4.1 导数的加法与减法法则
教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 教学重点：函数和、差导数公式的应用。 教学难点：函数和、差导数公式的应用 一、导学探究 【知识回顾】
1．计算函数y?f(x)在x?x0处的导数的步骤：
（1）通过自变量在x0处的Δx，确定函数在x0处的改变量：?y?f(x0??x)?f(x0)； （2）确定函数y?f(x)在x0处的平均变化率：
?yf(x0??x)?f(x0)?； ?x?xf(x0??x)?f(x0)。
?x（3）当Δx趋于0时，得到导数f?(x0)?lim?x?02．导数公式表
函数 导函数 函数 导函数 y?c（c是常数） y?x?（?是实数）y'?0 y'???x??1 y'??x?lna y?sinx y?cosx y'?cosx y'?sinx 1 cos2xy?axy?tanx y'?（a?0且a?1） (ex)'?ex y'?1 xlnay?cotx y?logax（a?0且a?1） y'??(lnx)'?1 x1 2sinx
【探究新知】
1两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）即
[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g'(x) ， [f(x)?g(x)?]f''(x)?g'(x )2请试着推导两个函数和、差的导数公式
证明：?y?f(x??x)?g(x??x)?f(x)?g(x)
?yf(x??x)?g(x??x)?f(x)?g(x)? ?x?xf(x??x)?f(x)g(x??x)?g(x)?
?x?x ?lim?y?limf(x??x)?f(x)?limg(x??x)?g(x) ?x?0 ?0?0?x?x?x?x0x ?f'(x)?g'(x)
'f'(x)?g'(x) 同理 [f(x)?g(x)]?二、典例分析
题型一 利用两个函数和（差）的求导法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数
122；（3） f(x)?a?2ax?x2x12?3；答案（1）y??4x3?6x2?5；（2）（3）f?(x)?2a?2x xln10x42（1）y?x?3x?5x?6；（2）y?lgx?
题型二 导数的应用——求与曲线切线有关的问题 例2 求曲线y?x3?2x在点（1，-1）的切线方程
解：函数y?x3?2x是函数f(x)?x3与g(x)??2x的差，由导数公式表分别得出
f'(x)?3x2，
g'(x)??2，根据函数差的求导法则得
(x3?2x)'?f'(x)?g'(x)?3x2?2
将x?1代入导出函数得3?1?2?1
即曲线y?x?2x上点（1,-1）处的切线斜率为1，从而切线方程为y?(?1)?x?1，即
3y?x?2 。
例3 已知曲线方程y?x，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程。
解 显然点B(3,5)不在曲线y?x上，所以设切点Ｐ的坐标为(x0,x02)
因为y?x，所以y??2x，所以切线的斜率k?2x0，则切线方程为y?x02?2x0(x?x0) 把点B(3,5)代人，则5?x02?2x0(3?x0)，即x02?6x0?5?0，解得x0?1或x0?5，所以切点坐标为（1，1）或（5，25），所以所求切线方程为y?1?2?1?(x?1)或y?25?2?5?(x?5)，即2x?y?1?0或10x?y?25?0
例4已知抛物线y?ax?bx?c过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y?x?3相切，求实数a,b,c的值。
解：因为曲线y?ax?bx?c过点P（1，1），所以a?b?c?1 ①
22222因为y??2ax?b，所以y在x=2处导数为4a+b,则由已知4a+b=1 ② 因为曲线过点Q（2，-1），所以4a+2b+c=-1 ③ 由①②③解得a=3,b=-11,c=9 三、归纳小结