2015年全国高中数学联赛模拟试题01
第一试
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.设f1(x)??2x?7，fn?1(x)?f1(fn(x))，x??2,x??3，则f2013(2014)?______. x?32. 设A=(-2,4)，B={x|x2+ax+4=0,x?R}．若AB的非空子集个数为1， 则实数a的取值范围是 ．
?x?0，?3.设R是满足?y?0，的点?x,y?构成的区域，则区域R的面积为_______.（其中?x?表示不超过
?x?y?[x]?[y]?5?实数x的最大整数）.
4.二元函数f(x，y)?cos4x?7?cos4y?7?cos4x?cos4y?8sin2xsin2y?6的最大值为___ 5. 已知B是双曲线C:2x2-4y2+1=0上靠近点A(0,m)(m>1)的一个顶点．若以点A为圆心，AB长为半径的圆与双曲线C交于3个点，则m的取值范围是 ．
336.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平
44局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为________.
AC?BD的最小值为
AE?ED08.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD所成的角为75.这
7.设五边形ABCDE满足?A??B??C??D?120，则样的截面共可作出 个 .
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
x?log2(2x?3a)9.（本小题满分16分）.试求实数a的取值范围，使得2是不等式?2的最小整数解.
1?log2a
10.（本小题满分20分）、数列?an?n?1定义为a1?1，a2?4，an?an?1an?1?1?n?2?.
⑴ 求证：数列?an?n?1为整数列；⑵ 求证：2anan?1?1?n?1?是完全平方数.
2
11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R. (1)若PQ??PR,求?的值;(2)若SP?PR,求ΔPSR面积的最小值.
2015年全国高中数学联赛模拟试题01
加试
一、（本小题满分40分）一、如图，设A为O1,O2的一个交点，直线l切为?ABC的外心，O3关于A的对称点为D，M为O1O2的中点.
求证：?O1DM??O2DA.
二、（本小题满分40分）设Sn?1?
BO3O1,O2分别于B,C，O3CAMO2O1D111????(n?N*).证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m. 23n三、（本小题满分50分）试求所有的正整数n，使得存在正整数数列a1?a2??an，使得和
ai?aj?1?i?j?n?互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.
四、（本小题满分50分）集合S是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数m满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个?m的非负整数，使得由S中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.
试求m的最小值.
2015全国高中数学联赛模拟试题02
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.在如下图所示的正方体ABCD?ABCD中， 二面角A?BD?C等于 （用反三角函数表示）
2.如果三角形?ABC的三个内角A,B,C满足
''''''cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是
2n?1,a2?2?1,an?1?an?1??2(n?2)， 2an?an?1则通项公式an? (n?1)。
3.实数列?an?满足条件：a1?x2y24.F1,F2是椭圆2?2?(a?b?0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果?PF1F2的面积为1，
ab1tan?PF1F2?,tan?PF2F1??2,则a?
2?15.在同一直角坐标系中，函数f(x)?ax?4(a?0)与其反函数f(x)的图像恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是
6. 已知正实数a1,a2,(2) a1a2,an与非负实数b1,b2,,bn满足(1) a1?a2??an?b1?b2??bn?n;
an?b1b21bn?，则 a1a22?b1b2an????a1a2bn???的最大值为__________． an?
7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2,,2014克的物品，
砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．
8.设g(x)?二、简答题（本大题共3小题，共56分）
9.（16分）设数列?an?的前n项和Sn组成的数列满足
x(1?x)是定义在区间?0,1?上的函数，则函数y?xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是
Sn?Sn?1?Sn?2?6n2?9n?7(n?1)，已知a1?1,a2?5,求数列?an?的通项公式。
10.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x?10x?11?0的三个根。 （1）已知x1,x2,x3,都落在区间(?5,5)之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：arctanx1?arctanx2?arctanx3?
3?4
x2?y2?1,A(?2,0),B(0,?1)是椭圆?上的两点，直线11.（20分）如下图，椭圆?:4l1:x??2,l2:y??1.P(x0,y0)(x0?0,y0?0)是?上的一个动点，l3是过点P且与?相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点， 求证：三条直线AD,BE和CP共点。
2015全国高中数学联赛模拟试题02
一（本题满分40分）
对任意实数a,b，定义运算“?”为：a?b[2a+b]．在直角坐标系中，
设点集A={(x,y)|0?x3,0?y2,(2排x)2y=(2排y)2x}，求A所对应的平面区域的面积．
二（本题满分40分）
如图，在?ABC中，AB?AC，H为?ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足?BHM??CHS，点A在直线HS上的射影为P.证明：?MPS的外接圆与?ABC的外接圆相切.
APHCSMB三（本题满分50分）
整数a,b,c,d满足ad?bc?1.求a2?b2?c2?d2?ab?cd?ac?bd?bc的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组?a,b,c,d?
四（本题满分50分）
设整数n?2,G??0,1,证明：
,n?1?，A,B?G，对x?G，记fAB(x)为满足a?b?x(modn)，a?A，
b?B的数组(a,b)的个数，类似定义fAA(x)，fBB(x).
?fx?G2AB(x)??fAA(x)?fBB(x).
x?G2015全国高中数学联赛模拟试题03
一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.已知函数f(x)?log2x，若实数a,b(a?b)满足f(a)?f(b)，则a?2014b的取值范围是__________． 2.函数f(x)=asinx+bcosx(a,b?Z)满足{xf(x)=0}=xf(f(x))=0，则a的最大值为 ． 3.设复数z1?(6?a)?(4?b)i，z2?(3?2a)?(2?3b)i，z3?(3?a)?(3?2b)i， （a,b?R），则当|z1|?|z2|?|z3|取到最小值时，3a?4b?________________
4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为a(a?6)，高为h(h?6)，
竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为 ． 5.在?ABC中，AB?{}2,AC?3,?BAC?300，P是?ABC所在平面上任意一点，
则??PA?PB?PB?PC?PC?PA的最小值是______________ 6. 正数列{an}满足: Sn?1nn2an=_____________________． S(为前项之和),则nn4an2227.设过点M(2,0)的直线l与抛物线y?4x交于点A,B，与圆(x?)?y?16交于点C,D，
92若AC?BD且AB?CD，则这样的直线l的条数是
8. 6名男生和x名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有4名男生站在一起的概率为p，若p?1，则x的最小值为 ． 100
二、简答题（本大题共3小题，共56分）
9.已知正数数列{an}满足：anan?1?3anan?2?5anan?1?3an?1?4anan?1（n?N）， 且a1?2,a2?10，求{an}的通项公式．
10.二次函数f(x)的图像开口向上，与x轴正向交于A,B两点，与y轴交于点C，以D为顶点，若三角形
2*ABC的外接圆与y轴相切，且?DAC?150，则x?0时，求??
f(x)的最小值． xx2?y2?1有公共点，求圆的半径R的最小值． 11、已知圆(x?1)?(y?2)?R（R?0）与椭圆4222