相似多边形与位似图形
【学习目标】
1、了解相似多边形的含义。
2、了解位似图形及有关概念，能利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。 3、利用图形相似解决一些简单的实际问题。 【知识要点】
1、相似多边形的定义。 2、相似多边形的性质。 3、位似图形的定义。 4、位似图形的性质。
5、位似图形性质的应用。 【重点、难点】
重点：相似多边形及位似图形的性质。 难点：相似多边形及位似图形的性质应用。 【知识讲解】 1、相似多边形：
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
提示1：只有边数相等，各对应角相等，且各边对应成比例的多边形才相似。
例如：两个正方形，各对应角都是90°，且各边对应成比例，所以两个正方形是相似多边形。 提示2：相似多边形的读、写法，在表示两个多边形相似时，要把表示对应角对应顶点的字母写在对应位置上。 2、相似比：
相似多边形对应边的比叫相似比，多边形的相似比是有顺序的。 例如：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB与A′B′是对应边，若1∶3。
3、相似多边形的性质： (1)对应边成比例； (2)对应角相等。
如：五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，则有∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′，∠E＝∠E′，且
(4)相似多边形中的对应线段的比等于相似比。
(5)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比。
4、位似图形的定义：
如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，此时，两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。 (1)位似图形是针对两个相似图形而言的。
。
，则说四边形
ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为3∶1；反之，四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为
(3)相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
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(2)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一点。
(3)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形，而相似图形不一定构成位似图形。
5、位似图形的性质：
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 (2)两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离之比，它们的各对对应边分别平行或在同一直线上。
【例题讲解】
例1：下列多边形，一定相似的是( )
A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
分析：根据相似多边形的定义，两个矩形只能满足对应角相等，对应边不一定成比例；两个菱形只满足对应边成比例，而对应角不一定相等；两个正方形的对应边成比例，对应角都是90°。 答案：C
例2：如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB＝18，A′B′＝4，B′C′＝6， ∠B＝77°，∠C＝83°，∠A′＝115°，求BC的长度和∠D′的大小。
解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴
，即
，解得BC＝27，
∴∠B′＝∠B＝77°，∠C′＝∠C＝83°， ∴∠D′＝360°－∠A′－∠B′－∠C′＝85°。
例3：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，它们的对角线分别交于点O、O′，那么ΔOAB与ΔO′A′B′相似吗？为什么？
解：ΔOAB∽ΔO′A′B′，因为： ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
2
∴ΔABD∽ΔA′B′D′，ΔABC∽ΔA′B′C′， ∴∠2＝∠4，∠1＝∠3， ∴ΔOAB∽ΔO′A′B′。
例4：如图，已知四边形ABCD及四边形A′B′C′D′中，∠B＝∠B′，∠D＝∠D′，
，那么，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′必相似。试说明理由。
分析：要说明四边形ABCD∽A′B′C′D′，只需说明∠A＝∠A′，∠C＝∠C′就可以了，我们可构造相似三角形来完成∠A＝∠A′，∠C＝∠C′。 解：连结AC、A′C′， ∵∠B＝∠B′， ∴ΔABC∽ΔA′B′C′， ∴∠1＝∠1′，∠2＝∠2′， 同理，ΔADC∽ΔA′D′C′， ∴∠3＝∠3′，∠4＝∠4′，
∴∠1＋∠3＝∠1′＋∠3′，∠2＋∠4＝∠2′＋∠4′， 即∠BAD＝∠B′A′D′，∠BCD＝∠B′C′D′， 又因
， ，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′。
例5：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似比为5，那么它们的周长和面积分别是多少？
，它们的周长之和为20，面积之差为
分析：根据题意，利用相似多边形的性质，可构造方程(组)即可求解。 解：设它们的周长分别为C1、C2，面积分别为S1、S2，
根据题意有，(1)
由(1)得：C1＝12，C2＝8， 由(2)得：S1＝9，S2＝4，
，(2)，
所以，它们的周长分别为12，8；面积分别为9，4。
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例6：如图，已知四边形ABCD，把它放大2倍，即新图形与原图形的相似比为2。
等于2。
分析：(1)把一个图形放大2倍，就是要求新图形与原图形的对应点到位似中心的距离之比 (2)位似中心的位置是任意的，可选在图形内、图形外、图形上均可。
解：(1)任取一点O；
(2)以O为端点作射线OA、OB、OC、OD；
(3)分别在射线OA、OB、OC、OD上取A′、B′、C′、D′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝ OC′∶OC＝OD′∶OD＝2∶1；
(4)连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。 则四边形A′B′C′D′就是所求作的图形。
例7：已知，锐角三角形ABC，求作矩形DEFG使DE在边BC上，点G和F分别在边AB和AC上，且DE∶GD＝2∶1。
分析：这个作图从要求的条件看，很难一次就作出满足全部条件的图形，因此可先作出满足一部分条件的图形。此题可以先作出所求作的图形的位似形，然后再根据位似图形的概念进行位
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似变换，以得出所求的满足全部条件的图形。
作法：1、在AB上任取一点G1，作G1D1⊥BC于D1； 2、在D1C(或其延长线上)上取一点E1，使D1E1＝2G1D1； 3、以G1D1、D1E1为邻边作矩形D1E1F1G1； 4、作射线BF1交AC于点F；
5、作EF∥E1F1交BC于点E，作FG∥F1G1交AB于G，作GD∥GD1交BC于D。 四边形DEFG就是所求的矩形。
例8：已知，ΔABC的顶点坐标分别为A(0，－2)，B(3，－1)，C(2，1)，以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍得到ΔA′B′C′，请写出ΔA′B′C′的顶点坐标。 解：根据位似图形中对应点的坐标的变化规律，
点A(0，－2)的对应点A′的坐标为(0×2，－2×2)即A′(0，－4)， 所以，类似的有 B′(6，－2)，C′(4，2)。 【过关练习】 1、选择题。
(1)两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为( ) A、
(2)在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形EFCB，那么它们的相似比为( )
B、
C、
D、
A、
B、 C、2 D、
(3)一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为( )
A、6 B、8 C、12 D、10
(4)ΔABC与ΔDEF是位似图形(如图)，相似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长等于( )
A、6 B、5 C、9 D、
(5)如图所示，已知ΔADE与ΔABC是位似图形，且位似比为1∶2，若ΔABC的面积为12cm2，则 ΔADE的面积为( )
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