习题9.1解答
1. 设D是圆环域：1?x2?y2?4，证明3πe???exD222?y2d??3πe4.
证 在D上，f(x,y)?ex?y的最小值m?e，最大值M?e4． 而D的面积S(D)?4π?π?3π． 由性质５得3πe???exD2?y2d??3πe4.
2. 利用二重积分定义证明： (1) ??d???D； (其中?为D的面积)；
(2) ??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?,其中D?D1?D2，D1、D2为两个无公共
DD1D2内点的闭区域.
证 (1) 由于被积函数f(x,y)?1，故由二重积分定义得
?f(?,?)????d??lim?D?0iii?1ni?lim???i?lim???.
??0i?1n??0 (2) 因为函数f(x,y)在闭区域D上可积，故不论把D怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D时，可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。这样f(x,y)在D1?D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和，记为
D1?D2?f(?i,?i)??i??f(?i,?i)??i??f(?i,?i)??i.
D1D2令所有??i的直径的最大值??0，上式两端同时取极限，即得
D1?D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?.
D1D23.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：
(1) ??x?yd?与??(x?y)2d?，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x?y?1所围
DD成；
(2) ??(x?y)4d?与??(x?y)5d?，其中积分区域D是由圆周(x?2)2?(y?1)2?2所围
DD成；
5是矩形闭区(3) ??lg(x?y)d?与??[lg(x?y)]2d?，其中D??(x,y)0?x?5,1?y??DD域.
(4)
??ln(x?y)d?与
D2[ln(x?y)]d?，其中D三角形闭区域，三顶点分别为??D(3,0),(5,0),(3,3).
解 (1) 在积分区域D上，0?x?y?1，故有x?y?(x?y)2.，根据二重积分的性
1
质４，可得??x?yd????(x?y)2d?.
DD（2） 由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x?y?1}内， 故在D上有
x?y?1，
?(x?y)4?(x?y)5．
从而??(x?y)4d????(x?y)5d?.
DD(3) 由于积分区域D位于条形区域{(x,y)|1?x?y?10}内，故知D上的点满足0?lg(x?y)?1，从而有[lg(x?y)]2?lg(x?y)．因此??[lg(x?y)]2d????lg(x?y)d?.
DD(4) 由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x?y?e}内，故在D上有ln(x?y)?1，从而有
[ln(x?y)]2?ln(x?y)．因此??[ln(x?y)]2d????ln(x?y)d?.
DD4. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：
(1) I???x2(x?y)d?其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?1}；
D(2) I???cos2xsin2yd?其中D?{(x,y)0?x??,0?y??}；
D(3) I???(x?y?1)d?其中D?{(x,y)0?x?1,1?y?3}；
D(4) I???(x2?4y2?9)d?其中D?{(x,y)x2?y2?4}.
D解 (1) 在积分区域D上，0?x?2，0?y?1，从而0?x2(x?y)?12，又D的面积等于21，因此0???xy(x?y)d??24.
D(2) 在积分区域D上，0?cosx?1，0?siny?1，从而0?cos2xsin2y?1，又D的面积等于π2，因此0???cos2xsin2yd??π2.
D(3) 在积分区域D上，0?x?y?1?3，D的面积等于2，因此0???(x?y?1)d??6.
D(4) 在积分区域D上，0?x2?y2?4，从而9?x2?4y2?9?4(x2?y2)?9?25,，又D的面积等于4π，因此36π???(x2?4y2?9)d??100π.
D5. 设I1???(x2?y2)3d?其中D1?{(x,y)?1?x?1,?2?y?2}；又I2???(x2?y2)3d?D1D2其中D2?{(x,y)0?x?1,0?y?2}．试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系．
解 由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1、顶为曲面z?(x2?y2)3的曲顶柱体?1的
2
体积；I2表示底为D2、顶为曲面z?(x2?y2)3的曲顶柱体?2的体积．由于位于D1上方的曲面z?(x2?y2)3关于yOz面和zOx面均对称，故yOz面和zOx面将?1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为?2．由此可知I1?4I2．
习题9.2解答
1. 计算下列二重积分：
y (1) ??2dxdy，其中D是正方形区域: 1?x?2,0?y?1.
xD(2) ??(3x?2y)d?，其中D是由两坐标轴及直线2x?y?2所围成的闭区域；
D(3) ??(x?3x2y)d?，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}；
D(4) ??xsin(x?y)dxdy其中D是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．
Dy（5）??xsin dxdy，其中D是有y?0,x?1,y?x所围成的闭区域.
xD
解 (1)??D21yy1211dxdy?dxdy?dx?. ?1?0x2x22?1x24 (2) D可用不等式表示为0?y?2(1?x),0?x?1， 于是
??(3x?2y)d???dx?D01012(1?x)0(3x?2y)dy
2(1?x)??[3xy?y2]0dx
19.
03(3) 因D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}是正方形区域，所以
??(4?2x?10x2)dx?11122??(x?3xy)d???dy?(x?3xy)dx D001?x2?????x3y?dy0?2?0111?1???(?y)dy??(y?y2)??1.02?2?01
(4)解 D可用不等式表示为0?y?x,0?x?π， 于是
图9.2-2(5)
??xsin(x?y)dxdy??xdx?sin(x?y)dy
D00x??x[?cos(x?y)]0dx??x(?cos2x?cosx)dx 00πππx 3
??1ππ?cos2x?0??cosx?0??2. 4x1x11xyyy?yy?(5) 解 ??xsin dxdy=?dx?xsindy=?x2dx?sin?d()??x2???cos??dx
00000xxx?0xx?D11 =(1?cos1)?x2dx?(1?cos1).
03(6) ??(x2?y2)d?，其中D?{(x,y)||x|?1,|y|?1}； D?2y3?解 ??(x?y)d???dx?(x?y)dy???xy??dx ?1?1?13??1?D22112211128??(2x2?)dx?. ?133
2.化二重积分
I???f(x,y)d?
D为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D是：
（1）D是由直线y?2，y?x及y?3x所围成的闭区域．
图9.2-1(3)
222（2）由x轴及半圆周x?y?a(y?0)所围成的闭区域；
（3） 由双曲线y?1(x?0)和直线y?3，y?x，所围成的闭区域； x解 （1）画出积分区域D如图9.2-2（4），D可用 不等式表示为
y?x?y,0?y?2，于是 2I??dy?yf(x，y)dx，或
033yI??dx?f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy.
0x1x13x33(2) 将D用不等式表示为0?y?a2?x2,?a?x?a，于是可将I化为
I??dx??aaa2?x20f(x,y)dy；
如将D用不等式表示为?a2?y2?x?a2?y2,0?y?a，于是可将I化为
I??dy?0aa2?y2?a2?y2f(x,y)dx.
1(x?0)和直线y?3，y?x， x（3） 作出由双曲线y?所围成的闭区域D的图形（如图9.2-3（3））；
I??dx?1f(x,y)dy或
1x3x 4
图9.2-3（3）
I??1dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx.
3y1y1333 （4） 环形闭区域{(x,y)|1?x2?y2?4}． 解 将D划分为４块，得 I??dy??2?14?y2?4?y2f(x,y)dx??dy??1211?1?y2?4?y2f(x,y)dx ??dy??114?y21?y2f(x,y)dx??dy?4?x24?y2?4?y2f(x,y)dx.或 I??dx??2?1?4?x2f(x,y)dy??dy??12114?x21?x2f(x,y)dy ??dy??11?1?x2?4?x2f(x,y)dy??dy?4?x2?4?x2f(x,y)dy.
3.画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1) ??x2yd?，其中D是由两条抛物线y?x，y?x2所围成的闭区域；
D(2) ??xyd?，其中D是由圆周x2?y2?4及y轴所围成的右半闭区域；
D(3) ??ex?yd?，其中D?{(x,y)||x|?|y|?1}；
D4) ??(x2?y2)d?，其中D是由直线y?2，y?x及y?3x所围成的闭区域．
D（5）??xe?ydxdy，其中D是由直线 y?x，x?3和y?1所围成的闭区域．
D(6)??y1?x2?y2d?，其中D是由直线y?x，x??1和y?1所围成的闭区域．
D（7）??xye?ydxdy，其中D是由直线y?x，x??1和y?1所围成的闭区域．
D2（8）计算??xyd?，其中D是由抛物线y2?x及直线y?x?2所围成的闭区域．
D解 (1) 画出积分区域D如图9.2-2（1），D可用不等式表示为 x2?y?x,0?x?1，于是
??xyd???xdx?D0212xx2ydy
1122x??x?y?dx 2??x021136??(x-x)dx 20
5 9.2-2(1) 图