习 题6
6-1有一个弹簧振子，振幅为2?10?2m，周期为1s，初相为3?/4. 试写出它的振动方程，并画出x-t图、?-t图和a-t图.
解：??2??2? s?1； T3振动方程：x?2?10?2cos(2?t??)m；
43速度：v??4??10?2cos(2?t??)m?s?1；
43加速度：a??8?2cos(2?t??)m?s?2。图略
46-2谐振动方程为x?0.1cos(20?t??/4)m，求:（1）振幅、频率、角频率、；周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度.
解：对照谐振动的标准方程 x?Acos?(t??) 可知： (1) A?0.1m ， ??20? ，??(2)
?4 ，???1?10Hz ，T??0.1s 2??xt?2?0.1cos(20??2?)?7.07?10?2m，
4? vt?2??0.1?20?sin(20???4)??4.44m?s?1，
at?2??0.1?(20?)2cos(20???4)??280m?a?2。
6-3设四个人的质量共为250kg，进入汽车后把汽车的弹簧压下5.0?10?2m.若该汽车弹簧共负担1000kg的质量，求该汽车的固有频率.
F250?9.814?1??4.9?10N?m解：由k?，???x5?10?22?k1?m2?4.4?104 ?1.11Hz。
10006-4一立方体木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a. 今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b，然后放手任其运动. 若不计水对木块的粘滞阻力，试证明木块的运动是谐振动，并求出振动的周期和振幅. 解：已知木块作简谐振动，其回复力必取：
f??kx的形式，回复力是重力和浮力的合力。
a b o x 木块的平衡条件为；m木g?Sa?水g ?m木?Sa?水
以静浮时下底面所在位置为坐标原点，x轴向下为正， 当下底面有位侈x时木块所受回复力为：
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f??S?水(x?a)g?m木g??S?水gx??kx
所以 k?S?水g ，?T?2?Sa?水ma ?2??2?kS?水gg取刚放手时为初始时刻，则；x0?b?a ，v0?0 ，A?x0?6-5在U形管中注入水银，其密度为?，高度为l，
v0?2?b?a 。
管的截面积为S. 今使水银上下振动，不计水银与管壁
的摩擦, 求振动的周期. l 解：当水银面处于任意位置y时，整个水银受回复力
f??2y?sg??ky，?k?2?sg 题6-5图
T?2?m2?lsl ?2??2?k2?sgg6-6一质量为1.0kg的物体放置在平板上，平板下面连着一个弹簧. 现使平板
上下做谐振动，周期为0.5s,振幅为2cm. 求：(1)当平板到最低点时物体对平板的压力；(2) 若频率不变，振幅多大时可使物体恰好离开平板？ (3) 若振幅不变，频率多大时可使物体恰好离开平板？
???解：由于物体作简谐振动，在任意位置时所受作用力为(mg?N)。N为平板对物体支撑力随位置不同而变。
（1）取坐标x轴向下为正，则mg?N?ma ，在最低点时x?A
?a???2A??(2?2)?2.0?10?2?0.32?2(m?s?2) 0.5?N?mg?ma?12.9N ，则物体对平板的作用力N'?12.96N
?A?（2）由于物体跳离平板是N=0 ，所以mg?ma?m?2A，
g?2?6.2?10?2m。
（3）由mg?m?2A 可得：???1?2?2?g1?A2?9.8?3.52Hz ?22.0?106-7一物体放置在平板上，此板沿水平方向作谐振动. 已知振动频率为2Hz，物体与板面的最大静摩擦系数为0.5. 问：要使物体在板上不发生滑动，最大振幅是多少？
解：?mamax??mg，?m?2A??mg；则：A??g?g?2??3.1?10m 。 22?(2??) 42
6-8一水平放置的弹簧受到1N的力作用时伸长5.0?10?2m. 现在此弹簧的末端系一质量为0.064kg的物体，并拉长0.10m后放手任其振动, 试求此弹簧振子作谐振动时的周期、最大速度和最大加速度.
解：k?m0.064F1?1 ；T?2??2??0.36s 。 ??20Nm?2?x5.0?10k20kk?1.77m?s?1 amax?A?2?A?31.3m?s?2 。
mmvmax?A??A6-9一质量为1.0?10?2kg的物体作谐振动，其振幅为2.4?10?2m, 周期为4.0s，当t=0时位移为2.4?10?2m. 求: (1) 在t=0.50s时物体所在的位置和物体所受的力；(2) 由起始位置运动到x??1.2?10?2m处所需的最短时间.
解：（1）?x0?2.4?10?2m ，????0 ，又???x?2.4?10?2cos(2?2???? T42?2t) ，当?t?0.5s时，x?1.7?10?2m ，
f??kx???2mx??4.2?10?4N
（2）?x?1.2?10?2m时，cos?2t?x?24?0.5；?tmun??，tmin???1.33s。 A2336-10作谐振动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的
时间各为周期的几分之几？(1) 由平衡位置到最大位移处；(2) 这段距离的前半段：(3) 这段距离的后半段.
解：（1）???? （2）???? （3）?????2 ，??2???T? ；??t?T?4??T 12T 6?6 ，??t? ，??t???????3?6-11两质点沿同一直线作同振幅、同频率的谐振动. 在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反. 求它们的相位差，并作旋转矢量表示之.
解：在一次完全完全振动中，对应于一个位置可有二个等值反向的速度。
?x?Acos(?t??) ，v?A?sin(?t??)
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（a）设甲乙甲乙两质点在正方向相遇
对甲：cos(?t??1)?0.5，sin(?t??1)＜0 得：?t??1?5?。 31? 3对乙：cos(?t??2)?0.5，sin(?t??2)＞0 得：(?t??2)??(?y??1)?(?t??2)?4?。 3（b）设甲乙两质点在负方向相遇。
对甲：cos(?t??1)??0.5 ，sin(?t??1)＜0 ；得：?t??1?4?。 32?。 3对乙：cos(?t??2)??0.5 ，sin(?t??2)＞0 ；得：?t??2)??(?t??1)?(?t??2)?2? 36-12两个质点作同频率、同振幅的谐振动, 第一个质点的振动方程为
x1?Acos(?t??). 当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时，第二个质点恰在振动正方向的端点，求第二个质点的振动方程和两振动质点的相位差.
解：由旋转矢量图得：
????2??1???2??2??1? ，
?2 ；第二个振动方程为：x2?Acos(?t??1??2)
6-13原长为0.50m的弹簧上端固定，下端挂一质量为0.10kg的砝码. 当砝码
静止时，弹簧的长度为0.60m. 若将砝码向上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，砝码上下运动. (1) 证明砝码的上下运动为谐振动；(2) 求此谐振动的振幅、角频率和频率；(3) 若从放手时开始计算时间，求此谐振动的运动方程(正向向下).
解：本题证明在任意时刻作用在物体上的合力为：f??kx 的形式即可。 （1）以物体平衡位置为原点，x轴竖直向下为正方向。设物体平衡时使弹簧伸
'长了x0。有： kx0?mg ，
''当物体处于任意位置时有：f??k(x?x0)?mg??kx；
所以物体作简谐运动。
'（2）取放手时刻为初始时刻，则初位移为?x0，初速度为0。
'?A?x0?v0?2'?x0?0.1m；??k?m44
g??1???1.58Hz。 ；?9.9s'2?x0
（3）由初始条件可定出；???，所以方程为：x?0.1cos(9.9t??)
6-14如图所示，质量为10g的子弹以1000?m?s-1的速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作谐振动. 若木块质量为4.99kg，弹簧弹性系数为
8?103N?m-1，求振幅.
解：由动量守恒定律：mv?(m?M)V得碰后速度
?V?mv m?V由机械能守恒：
11(m?M)V2?kA 20得 A?m?M2mvV??0.05m kk(m?M)6-15质量为0.10kg的物体作振幅为1.0?10?2m的谐振动，其最大加速度为
4.0m?s?2. 求（1）振动的周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）物体在何处
其动能与势能相等？
解：（1）因为：amax??2A；所以：?? （2）Ek? （4）Ep?amax2??0.314s ?20s?1；T??A1112mV2max?mA2?2?0.002J；?0.002J； （3）E?mVmax222121kx 、Ep?Ek?kA2；当Ep?Ek时有： 22A2x????0.707?10?2m。
26-16当谐振子的位移为其振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置其动能和势能各占总能量的一半？
解：（1）Ep? （2）Ep?Ek?121A211213kx?k()??kA?E；所以：Ek?E?Ep?E 2224244111E ，所以：kx2?kA2 ；x??0.07A 。 2246-17一个质点同时参加两同方向、同频率的谐振动，振动方程分别为
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