第三章 多维随机变量及其分布 习题1
§3.1 二维随机变量的概率分布
一、填空题
?1?3?x?3?y?3?x?y，x?0，y?01. 设（X,Y）的分布函数为 F（x，y），则 ?? 其它?0，（X,Y）的联合概率密度f(x,y)= ；
yx2设随机变量(X,Y)的分布函数为 F（x，y）?A(B?arctg）(C?arctg), 则A= ,
23B= , C= ，(A?0)；
3. 用(X,Y)的联合分布函数F(x,y)表示概率P(a?X?b,Y?c)= F(b,c)?F(a,c)； 4.设(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y?x及y?x2所围成的区域，(X,Y)的概率密度为
?x?y?，x?0, y?0?Ae5. 设 (X,Y) 联合密度为f（x，y），则系数A= ； ???0, 其它?6. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f?x,y???则P?X?Y?? ；
?4xy,0?x?1,0?y?1，
其它?0,?cx2y,x2?y?1,7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y???，则c= 。
其它.?0,
二、选择题
1．考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用X表示抛掷硬币出现正面的次数，Y表示抛掷骰子出现的点数，则(X,Y)所有可能取的值为 ( )
（A）12对； （B） 6对； （C） 8对； （D） 4对. 2．设二维随机向量（X，Y）的概率密度为
?1,0?x?1,0?y?1, f(x,y)??0,其它，?则概率P(X?0.5,Y?0.6)? ( )
（A）0.5； （B） 0.3； （C） 0.875； （D） 0.4.
（?bF（3. 设F分别为随机变量X1和X2的分布函数, 为使F(x)?aF是某（（1x）2x）1x）与F2x）
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一随机变量X的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取（ ）
32221313(A) a?，b??; (B) a?，b?; (C) a??，b?; (D) a?，b??.
553322224. 设随机变量Xi的分布律为
Xi P ?1 0 1 1 41 21 4i?(1， 2),满足P(X1X2?0)?1,则P(X1?X2)?(A)
(A) 0; (B) 1/4; (C) 1/2; (D) 1.
5. 如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数（ ）
????cosx,??x?,0?y?1,（A）f?x,y??? 22?其它?0??1??cosx,??x?,0?y?,（B）f?x,y???222
?其它?0（C）f?x,y????cosx,0?x??,0?y?1,
其它?01?cosx,0?x??,0?y?,?（D）f?x,y???2
?其它?06. 设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为 X p -1 1/2 1 1/2
Y p -1 1/2 1 1/2 则下列各式正确的是（ ）
（A）X=Y； （B）P{X=Y}=0 ; (C)P{X=Y}=1/2 ; (D)P{X=Y}=1.
三、计算下列各题
0?x?1，0?y?1?4xy，??1. 已知随机变量X和Y的联合密度为f（x，y）, 求X和Y的联合0， 其它?分布函数F(x,y)。
2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以X和Y分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和Y的概率分布律。
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?2g(x2?y2)?, 0?x,y?????3. 给定非负函数g(x),它满足?g(x)dx?1,又设f(x,y)???x2?y2,
0???0, 其它问f(x,y)是否是随机变量X和Y的联合概率密度?说明理由。
fx，y）??4. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为（??k?6?x?y?, 0?x?2,2?y?4，
??0, 其它求：（1）系数k； （2）P?X?1,Y?3?； （3）P?X?1.5?； （4）P?X?Y?4?。
??a(1?x2?y2), x2?y2?1??5. 设随机变量 (X,Y) 的联合密度为f（x，y）, ??0, 其它1求 (1) 系数a, (2) 概率P（X2?Y2?）。
46. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，
以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，
（1）求PX?1Z?0； （2）求二维随机变量?X,Y?的概率分布。
??§3.2 边缘分布§3.3 条件分布§3.4 随机变量的独立性
一、填空题
1. 设平面区域D由曲线y?
1.X，Y）在D上均匀分布，及直线y?0，x?1，x?e2所围成（x（X，Y）则关于X的边缘密度在x?2处值为 ； （X，Y）2. 若的分布律为 X Y 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 ? 3 1/18 ? ?,?应满足条件是 .若X与Y相互独立则?= ,?= ；
3. 设随机变量X和Y相互独立，且X在区间?0,2?上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则P?X?Y?1?? ；
4. 设X1,X2,?,Xn独立同分布，都服从N(?,?2)，则（X1,X2,?,Xn）的概率密度函数为 ；
5.设随机变量X与Y相互独立，X
B(2,p),Y~B(3,p)，且P(X?1)?5/9，则
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P(Y?2)? ，P(X?Y?1)? ；
6. 二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是 。
二、选择题
1.设两随机变量X和Y独立同分布P(X??1)?P(Y??1)?1/2,P(X?1)?
P(Y?1)?1/2, 则下列各式成立的是（ ）
(A)P(X?Y)?1/2; (B)P(X?Y)?1; (C)P(X?Y?0)?1/4; (D)P(XY?1)?1/4. 2．设二维随机变量(X,Y)的联合分布为
X Y 0 1 0 1/4 a 1 b 1/4 并且已知事件?X?0?与 ?X?Y?1?相互独立，则a,b的值是（）
（A）a=1/6,b=1/3; (B) a=3/8,b=1/8; （C）a=1/4,b=1/4; (D) a=1/5,b=3/10.
?1/?,x2?y2?13. 设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度为f?x,y???，则X,Y满足
其它?0,（ ）
（A）独立同分布; （B）独立不同分布；（C）不独立同分布； （D）不独立也不同分布.
三、计算下列各题
1. 设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）(X,Y)的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。
6, ???x???, 2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?2?(4?x2)(9?y2)???y???（1）求关于X和Y的边缘概率密度. （2）问X与Y是否独立？
?21?x?xy,0?x?1,0?y?2,3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f?x,y??? 3?0,其它.?求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2） P?X?Y?1?。
?kx(x?y),0?x?2,?x?y?x,f(x,y)? （1）4. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为??0,其它求常数k； （2） 求关于X和Y的边缘概率密度， （3）问X与Y是否独立？ 5. 雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点(X,Y)在屏幕上均匀分布，（1）求X,Y的边
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缘概率密度，（2）问X,Y是否独立？
?Ae?y， 0?x?y6. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??，求（1）常数A（2）随
?0, 其它机变量X,Y的边缘密度，（3）概率P(X?Y?1)。 7. 已知随机变量X,Y的概率分布： X P ?1 1/4 0 1/2 1 1/4
Y P 0 1/2 1 1/2 且P(XY?0)?1.（1）求X,Y的联合分布，（2）问X,Y是否独立？为什么？
8. 设X与Y为两个相互独立的随机变量，X在区间?0,1?上服从均匀分布，Y的概率密度
?1?y/2?e,为fY?y???2??0,y?0,y?0.，求：
（1）X与Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a?2Xa?Y?0，试求a有实根的概率。
四、证明题
2??1?e?ax?y,x?0,0?y?1,???axx?0,y?1,a?0， 设随机变量?X,Y?具有分布函数F?x,y???1?e,?0,其它.??证明：X与Y相互独立。
§3.5 两个随机变量函数的分布
一、填空题
1. 设X与Y独立同分布, 且X的分布律为P(X?0)?0.5,P(X?1)?0.5, 则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 ；
3442. 设X与Y两随机变量, 且P(X?0，Y?0）=，P(X?0）?,P（Y?0）?, 则
777P(max（X，Y）?0）? ；
3. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P?max{X,Y}?1?= ；
4. 若X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),相互独立,k1X?k2Y服从分布为 ；
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