第十章 曲线积分和曲面积分
（A）
1、计算下列对弧长的曲线积分 1） 2） 3）
?L(x2?y2)nds，其中：L:x?acost,y?asint(0?t?2?)
?Lxds,其中L为由y?x及y?x2围成
?Tx2yzds,其中T为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0，0，0），（0，0，2），
（1，0，2），（1，3，2）
4）
?L(x2?y2)ds,其中L：x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost),(0?t?2?)
2 、计算下列对坐标的曲线积分 1） 2）
?L(x2?y2)dx,其中L是y?x2上从（0，0）到（2，4）的一段弧
?Lxydx,其中L是(x?a)2?y2?a2及x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界
1
（逆时针向） 3）
?Tdx?dy?ydz,其中T为有向闭折线ABCA，这里A，B，C依次为点（1，0，0），（0，
1，0），（0，0，1） 4）
?L(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是y?x2上从点（-1，1）到（1，1）的一
段弧
3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1）
?L(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy,其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，
2）的三角形正向边界 2）
?L(x2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy,其中L为正向星形线
2323x?y?a(a?0)
3）
23?L(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy,其中L为抛物线2x??y2上由（0，
0）到（
?,1)的一段弧 22
4、验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xoy面内是某个u(x,y)的全微分，并求这样的
u(x,y)
1）(x?2y)dx?(2x?y)dy
2）(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy
5 、计算下列对面积的曲面积分 1）
2）(xy?yz?xz)ds,其中?为锥面z????(2x??xyz4y?z)ds,其中?为平面???1在第一卦限中的部分
2343??x2?y2被柱面x2?y2?2ax所截得的有限
部分
6 、计算下列对坐标的曲面积分 1）
??x?2y2zdxdy,其中?是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下侧
3
2）
??xzdxdy?xydydz??yzdzdx,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1围成区
域的整个边界曲面的外侧
7 、利用高斯公式计算曲面积分 1） 2）
3332222xdydz?ydzdx?zdxdy,?其中为球面的外侧 x?y?z?a?????xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为界于z?0,z?3之间的圆柱体x?2?y2?9的
整个表面的外侧
8 、 求下列向量的散度
?2221）A?(x?yz)i?(y?xz)j?(z?xy)k
?xy22）A?ei?cos(xy)j?cos(xz)k
9、求下列向量场A的旋度
?1）A?(2z?3y)i?(3x?z)j?(y?2x)k
4
?2）A?(z?siny)i?(z?xcosy)j
(B)
1、一段铁丝成半圆形y?其质量. 2、 把
a2?x2，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求
?Lx2ydx?xdy化为对弧长的曲线积分，其中L为y?x2从点A（-1，1）到B（1，
1）的弧段. 3、把
??xyzd?xyzd?yxzd化z成对弧长的曲线积分，其中?为曲线
x?t,y?t2,z?t3(0?t?1)一段弧.
4、求心形线x?2acost?acos2t,y?2asint?asin2t所围图形的面积.
5