A1：人口总数为常数N，N足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.
A2：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间内一个传染者与他人的接触率为?，则一个传播者在单位时间内与S类成员的接触率为?S(t)，因此，单位时间内I类成员与S类成员的接触总数为?N?S(t)?I(t)，这就是单位时间内I类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.
A3：传播者的被控制数正比于传染者的数量NI(t)，比例系数为v，v称为被控制率，则平均传染期为L?1/v.???/v为一个传染者在其传播期内与其他成员的接触总数，称为接触数.
那么SARS的传播流程如图3：
?NSI?传染vNS?控制易感类NS(t)?????传染类NI(t)?????排除类NR(t)
图3 SARS传播流程图
在这个模型中，排除类NR(t)就是已确诊SARS患者累计数，而N?[1?S(t)]是全社会累计SARS患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分.
4.4模型的建立
有了以上的机理分析，建立起针对SARS的改进SIR模型：
?dS (1)?dt???SI ??dI??SI?vI (2)?dt? ?dR?vI?dt?I?R?S?1??S0?0,I0?0??R0?0
该模型中参数?和v在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：
1参数?表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，○其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率?的值.
一般认为，?的数值随着SARS发展的4个阶段不断变化.在SARS初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故?维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使?得到一定的控制，但效果不明显，此处假设?呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为?按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，?就维持在一个较低值附近.
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2参数v表示传播者的被控制率.L?1/v称为平均传染期，表示一个传播者在被○
隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS患者经过传染期L过后，将隔离治疗或者死亡，从I类成员变为R类，失去传播能力.
L与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广范围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期L的长度.因此这里将L直接抽象为每一时期SARS患者的就诊率?(t)的函数.
平均传染期L应随?(t)的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS的认识不足，并没有采取有效控制措施， L的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS患者的就诊率?(t)逐渐增加，而平均传染期L会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS病毒平均潜伏期（约7天）定为L的最小值；在此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L的值会维持在7天左右.
4.5针对北京疫情求解模型
首先采用数学推导的方法，确定参数?和v，并证明模型有唯一解. 1确定?和v的关系 ○
?令??，方程组中(2)?(1)得：
vdI1??1? dS?SdI1在病情刚开始时，??1?，由于S(t)是单调减少的，且I(t)最终趋近于0，
dS?S0则当?S?1时，I(t)单调减少趋近于0；当?S?1时，I(t)先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于0.
容易知道，当?S?1时，才满足SARS的传播规律，所以参数?和v的取值必须满足这个条件. 2证明模型有唯一解 ○
在初值条件下解微分方程组：
1?dI??1???S ?dS??I0?S0?R0?1得到关系式：
I(t)?1?R0?S?1ln(S) S0?11得 ???，由○令t?0?1?R0?S??因为S??0，所以令
?ln(S?) S0x) S05
f(x)?1?R0?x?1?ln(
则 limf(x)???，f(S0)?1?R0?S0?I0?0
x???01时，由于f(x)?0在(0,S0)范围内有根，因而在(0,)内有根. ??1当S0?时，因为
?1??xf'(x)?
?x111当x?时，f'(x)?0，所以f()?f(S0)?I0?0，因而f(x)?0在(0,)???内也有根.
11注意到当0?x?时，f'(x)?0，故f(x)?0在(0,)内有唯一根.
??1所以，S?在(0,)内有唯一解.
?3划分SARS传播的4个阶段 ○
由于SARS的传播经历了4个阶段，所以，要以具体的指标划分这4个阶段.因为在4个阶段中，日发病率?(t)??N?S(t)?I(t)是一个区分每个阶段特点的关键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始： 征兆期：日发病率在10（人/天）以下.北京疫情期的前40天.
d??0时.北京疫情期的爆发期：从日发病率10（人/天）到日发病率最大，即dt第40天到第74天.
dI?0时.北京疫情期的第74天到高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即dt第79天.
衰退期：患者数量最大点以后.北京疫情期第79天以后. 4确定?和v ○
根据北京最终SARS患者总数2521人以及北京人口总数（约14000000人），得
25211vS??1??0.9998?1，所以??1.
14000000??1
因为平均传染期L?，而L是SARS患者就诊率?(t)的函数，且L?[7,19]，
v
所以，这里设计L函数为：
当S0?1L?7e1??(t)
?(t)由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出：
0?t?40?0 ?t?40??(t)??log10(?1) 40?t?74
3.78? t?74??1 而接触率?与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况确定为：
6
0?t?40?0.126 ??0.126?t 40?t?74?3400???
lnt?0.116? 74?t?79?33?0.0672 t?79?
确定出所有的参数后，做出北京各时期累计全社会SARS患者数和各时期累计确诊SARS患者数预测图（图4）以及北京市预测确诊SARS患者累计和实际确诊SARS患者累计对比图（图5）.同时得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR模型程序)
图4 北京市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图
图5 北京市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图
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5．改进SIR模型的分析与评价
5.1合理性评价
从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对后期数据预测不准的缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：
图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）
可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.
通过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准确，而且在预测后期病情的时候也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型优于早期模型的方面之一.
5.2实用性评价
对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：
1早期模型在没有对SARS的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高○
峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期的确定方法，模型的实际应用范围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据日发病率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑了每个阶段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的影响.
2早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者○
人数，这样的做法不能对防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发现的患者人数，可以对防治工作提供更有用的数据.
3早期模型用参数K代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出K值○
的具体算法，只是不断地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测北京的情况，未对北京的实际情况进行充分的考虑.而改进SIR模型用参数?表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个阶段内?的变化情
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