导数的应用
一、考试内容
罗必达(L’Hospital)法则 平面曲线的切线和法线 函数单调性的判别 函数极值 函数最值 函数图形的凹凸性、拐点 函数图形的描绘 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径
（一）罗必达(L’Hospital)法则
limf(x)g(x)?limf'(x)g'(x)?a(?)（f'(x)、g'(x)需在x的变化过程中存在），
??00对数列极限问题不能直接使用罗必达(L’Hospital)法则.
（二）函数性态
1.函数的奇偶性
f(x)为可导的奇（偶）函数?f'(x)为偶（奇）函数，f'(x)为奇函数?f(x)为偶函数;f(x)奇（偶）?2．函数的周期性
f(x)连续?xaf(t)dt偶（奇(a?0)）,?f(t)dt奇（偶）?axf(x)连续. f(x)偶（奇）f(x)为周期T的导函数?f'(x)为周期T的函数，f'(x)周期为Tf(T)?f(0)?f(x)周期为T;
?xaf(t)dt周期为T?f(x)连续f(x)周期为T，f(x)为周期T的连续函数?0Tf(t)dt?0??xaf(t)dt周期为T.3．函数的单调性
f'(x)?(?)0,x?I(f(x)在I内具有有限个驻点)?f(x)在I内单调增(减),反之不成立；f(x)，f'(x)，?f(t)dt三者的单调性在一般情况下不能相互推出；axf'(a)?(?)0?f(x)必在a处充分小的邻域内单调增(减).
f(x)单调区间的分界点可能为驻点,尖点(连续但一导不存在),间断点；视f(x)条件而定；4．函数的凹凸性
f''(x)?(?)0,x?I(f'(x)在I内具有有限个驻点)?f(x)在I内是(向上)凹(凸)的,反之不成立；f''(a)?(?)0?f(x)必在a处充分小的邻域内是(向上)凹(凸)的;
f(x)的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视f(x)条件而定；f''(x0)?0(f''(x0)?/),f''(x)在x0两邻的符号相反?(x0,f(x0))为拐点;
f''(x)在x0处连续f''(x)f''(x0)?0,f'''(x0)?0?(x0,f(x0))为拐点;lim?A?0?(x0,f(x0))为拐点;
x?x0x?x0f''(x)在a处连续f'(x)在a处连续弧微分ds?(dx)2?(dy)2,曲率K(x)?d?ds?y''(1?y'2)?23,曲率半径R(x)?1K(x).
5．函数的极值性
f(x)的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若f(x)可导,其极值点必为驻点；f'(x0)?0(f'(x0)?/),f'(x)在x0两邻由正到负由负到正()?x0为极大(小)点,f(x0)为极大(小)值;f'(x)在x0处连续f'(x)f'(x0)?0,f''(x0)?(?)0?x0为极大(小)点;lim?A?(?)0?x0为极大(小)点;x?x0x?x0f(x)?f(x0)f''(x)lim?A?(?)0?x为极大(小)点;f'(x)?0,lim?A?(?)0?x0为极大(小)点.00x?x0x?x0x?x(x?x0)2n06．函数的最值性：在证A?x?[a,b]x?[a,b]?baf(x)dx?B时，需将最值问题与积分估值定理联合考虑.
f(x)连续最大(小)值maxf(x)(minf(x))?max(min){f(驻点),f(尖点),f(端点)};
连续函数f(x)在(a,b)内有唯一驻点(尖点)且取极大(小)值,则其亦为f(x)在(a,b)内的最大(小)值.1
二、典型例题
题型一 未定式及其逆问题的求解 例1、求下列极限（??）：
lntan2xln(eax?1)ax?xarctanxxlnx (a?1) （1）lim（2）lim（3）lim（4）limxx???x??x?0?x?0?lntan3xxa?xL'H2cot2xsec22x2tan3x?lim?1． （1）解：原式?lim2x?0?3cot3xsec3x3x?0?tan2xt?1x?lntL'H1??lim?0． （2）解：原式?limt???t???ttax?ln(1?e?ax)?a（L'H要烦些）（3）提示：a?0，原式?0；a?0，原式?lim．
x???xax?xarctanx1?(xax)arctanx（4）提示：lim?lim?1； xxx???x???a?x1?(xa)ax?xarctanx(axx)?arctanx?lim?lim?． x???x???ax?x(axx)?12注：lnx(??1),lnx,x(??1),ln(a?b)(a?1),lnx,x,a,x无限增大之速渐快；
???xx?xxlnn?(??1),ln?n,n?(??1),ln(an?b)(a?1),lnnn,n?,an,n!,nn无限增大之速渐快．
例2、求下列极限（00，： 0??,???,1?,?0,00）
1xx?sinx?x4sincost2dt?xx?(1?x)ln(1?x)?0x；（1）lim（2）lim；（3）； lim253xx?0x?0x?0ln(1?x)tanxe?1n12arctanxxekx2222)；（4）lim[x?xln(1?)]；（5）lim(（6）lim(?（7）lim(x?a)x． )；
x??x???x??x?0x?nk?100x?sinx11?cosx1?limxsin?lim?． （1）提示：原式3?3lim32x?0x?0tanx~xx?0xx3x600x?(1?x)ln(1?x)L'H?ln(1?x)1?lim??（2）提示：解：原式2?lim． x?0x22x2ex?1~x2x?02costdt?xL'Hcosx2?11?0?lim?lim??（3）提示：原式． 54x?0ln(1?x5)~x5x?0x5x10t?1xt?ln(1?t)L'H1?． （4）提示：原式?limt?0t2200x1x1（5）提示：原式?e1?1?2lnarctanxx???2lim?1x?ex???lim?arctanx?11x?eL'Hx???lim2[?(1?x2)]?1x2?e（令
?n?12?22?arctanx?1?t）．
ln(?ekxn)k?1n（6）提示：原式?ex?0（7）提示：原式?enn???0limx?ex?0?elimlim1ekx?1nk?1?nx?e1kekxx?0nk?1lim?n?e．
ln(x2?a2)L'Hx??x2lim2x(x2?a2)x??2x?1．
1x?0x???注1：对limn?1，不能直接使用L’H法则，先求limx注2：lim(1?x)x???1x?0?1，而lim?x?1．
x?0x00?1?e．
2
f(a?h)?f(a?h)?2f(a)．
h?0h2f'(a?h)?f'(a?h)f'(a?h)?f'(a)f'(a?h)?f'(a)?lim?lim?1．解：原式?lim
h?0h?0?h?02h2h?2h例3、设f??(a)?1，求lim例4、若lim?x?0[arctan(1x)]??a1?x2?x0sin(bt)ln(1?t)dt??2，求a,b的值． 1?x2}?0，有a?12；
提示：由题意知lim{[arctan(1x)]?x?000??a1?1[?（1?x2）]?x[2(1?x2)32]1ln(1?x)1b?原式?lim，故． ??lim????2L'Hx?0?2?sin(bx)ln(1?x)?x?0?sin(bx)?b例5、设lim(1?2x?x?ax?b)?0，求a,b．
x???323提示：由题意知a?lim(1?2x?xx???323x)?1；
33b?lim(1?2x?x?x)?lim[(t?2t?1?1)t]?23． ?23x???t?03x?1t例6、当x?0时，3tanx?3x是关于x的k阶无穷小，则k?3．
tan2xk?3ln3tanx?x?ln3limk?1??limlim3?ln3lim提示：lim． kkkL'Hx?0x?0x?0x?0x?03xxxkx例7、设函数f(x)在x?0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)?0,f?(0)?0,若af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值．
解： 由题设条件知0?lim[af(h)?bf(2h)?f(0)]?(a?b?1)f(0)，有a?b?1?0；
3tanx?3x3tanx?x?1x00h?0af(h)?bf(2h)?f(0)L'H0?lim?lim[af?(h)?2bf?(2h)]?(a?2b)f?(0)，有a?2b?0；
h?0h?0h故a?2,b??1.
xf(x)?sin6xf(x)?6?0lim?36. 例8、若 lim，则23x?0x?0xxxf(x)?sin6x(xf(x)?6x)?(sin6x?6x)?lim?0， 提示：由lim33x?0x?0xxf(x)?66x?sin6xL'H6?6cos6x?lim?lim?36． 知 lim=
x?0x?0x?0x2x33x2例9、lim?1?x??x?0?f(x)?3??e,f''(x)存在，求f(0),f?(0),f??(0)． x?f(x)连续x?01x提示：由题意知lim[f(x)x)]?0，则f(0)且f?(0)3?limf(x)?0；
x?0f(x)可导?lim{[f(x)?f(0)]x}?lim[f(x)x)]?0；
x?0x?0f(x)1f(x)lim[?1]lim[x?]f(x)f(x)1x?0x2x?0xxx]?e?e,知lim2?2， 又e?lim[1?x?x?0xx?0xf(x)L'Hf'(x)f'(x)?f'(0)f''(x)存在1?lim?f''(0)，则f''(0)?4． 则2?lim2?limx?0xx?02xx?02x2注：在综合训练阶段，我们将介绍用麦克劳林展开法解决有关未定式的处理问题．
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题型二 函数性态的判定、求解与证明
例1、设y?f(x)由e2x?y?cos(xy)?e?1所确定，则曲线y?f(x)在点(0,1)处的法线方程为x?2y?2?0．
?例2、对螺旋线??e在(?,?)?(e2,例3、求y?xln(e?提示：由y(0)?x?1t??2?)处的切线的直角坐标方程为x?y?e2．
1) （x?0）的渐近线方程． xL'H?t???lim[ln(e?t)t]?0，知x?0不是该曲线的铅直渐近线；
x?1t又limyx?1,lim(y?x)x???x????t?0lim[ln(e?t)?1]t?1e ，故y?x??L'H1为其斜渐近线． e例4、设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得(C)
(A) f(x)在（0，?)内单调增加 (B) f(x)在(??,0)内单调减少
(C) 对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0) (D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0) 例5、下列命题中正确的是(D)
(A) 若f(x)在(a,b)上可导，且严格单调递增，则必有f?(x)?0 (B) 若f?(x)(x?x0)?0对x?u0(x0,?)成立，则f(x0)为极小值 (C) 若x0是函数f(x)的拐点，则必有f??(x0)?0
(D) 若f??(x0)(x?x0)在u0(x0,?)上不变号，且f??(x0)?0，则x0是f(x)的拐点
f(x)?f(a)??1，则函数f(x)的一个极大值必为f(a)．
x?a1?cos(x?a)3921n?1例7、数列{n()}中的最大项为．
216221x?1提示：设f(x)?x(),x?[1,??)，令f?(x)?0，则在x?处f(x)取得最大值，
2ln22199?3，而f(2)?,f(3)?，故该数列的最大值为第三项：． 又2?ln221616例8、曲线y?(x2?1)(x?2)2的拐点个数为2．
例9、设f(x)二阶导数连续,且(x?1)f??(x)?2(x?1)f?(x)?1?e1?x， 试问（1）若x?a (a?1)是极值点时,是极小值点还时极大值点？
（2）若x?1是极值点时,是极大值点还是极小值点? 提示：（1）将f?(a)?0代入(x?1)f??(x)?2(x?1)f?(x)?1?e1?x， 得f??(a)?(1?e1?a)(a?1)(a?0)，则f(x)在x?a取极小值；
1?x（2）由f??(x)?2f?(x)?(1?e)(x?1)，知limf??(x)?2limf?(x)?1
例6、设limx?1x?1则f??(1)?1?0,又f?(1)?0，故x?1为f(x)的极小值点. 例10、设f(x)在[0,??)上连续，单调不减，
?1xntf(t)dt?试证：F(x)??x?0?0?提示： F'(x)?x[x?2n+1x?0x?0x0在[0,??)上连续且单调不减(n?Z).
?f(x)??tnf(t)dt]?x?1[xnf(x)??nf(?)]?0，??(0,x).
4
注：变限积分与函数比较时，常用积分中值定理.
例11、求函数y?x?x的单调区间、极限、凸凹区间、拐点，渐近线，并作图. x2?1y
?3 ?1 1
3 x
例12、f(x)奇（偶）?f(x)连续?xaf(t)dt偶（奇(a?0)）,?f(t)dt奇（偶）?axf(x)连续； f(x)偶（奇）?xaf(t)dt周期为T?f(x)连续f(x)周期为T，f(x)为周期T的连续函数?0Tf(t)dt?0??xaf(t)dt周期为T.提示：
??xaf(t)dtau??t??xx?a?f(?u)du??x?Ta?Ta?af(u)du??f(u)du??f(u)du，
aaxx?x?Taf(t)dt??x?Taa?Tf(t)dt??f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt，
0aaxT?aTxx或[?则?f(t)dt??f(t)dt]'?0，
aftd(t)?ftd?t()axftdt??()ftdtxxT?T(?)?00?
例13、求由方程
?y0edt??(1?t)3dt?0所确定的可导函数y?y(x)的可能极值点，并
0t23x讨论这些点是极大点还是极小点.
(3x?1)3?y21?3e 解：ey?(x)?(1?x)?x?0，y?(x)?2333?x令y?(x)?0得x?1，为驻点，x?0为尖点，
(??,0) (0,1) x 0 1 f(x) - / - 0 f?(x) 递减 非极值点 递减 极小点 y2332(1,??) + 递增 例14、设?(u)是连续的正值函数，试证明：f(x)?证明：f(x)??c?cx?u?(u)du在[?c,c]上是上凹的.
?x?c(x?u)?(u)du??(x?u)?(u)du
xc?x??(u)du??u?(u)du?x??(u)du??u?(u)du
f?(x)?xxxx??cx?c?(u)du???(u)du,f??(x)?2?(x)?0
c?cucc 故，原题得证.
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