第四章 微分中值定理和导数的应用
习题4-1
1．验证罗尔定理对函数y?exsinx在区间?0,3π?上的正确性。
解答：因为函数y?exsinx在区间?0,3??上连续，在(0,3?)内可导，且y(0)?y(3?)?0，满足
3罗尔定理条件，又由于y'?ex(sinx?cosx)，当????(0,3?)时，y'(?)?0，即罗尔定理的
4结论成立。验证完毕。
难度：一级
2．验证拉格朗日定理对函数y?arctanx在区间?0,1?上的正确性。
解答：因为函数y?arctanx在区间?0,1?上连续，在(0,1)内可导，满足拉格朗日定理条件，又由于y'?14??，当???(01,)1?x2?时，y'(?)?y(1)?y(0)??，即拉格朗日定理的结论成立。
1?04验证完毕。 难度：一级
3．就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中?的值：
π??π5（1）f(x)?lnsinx,?,?；
?66?（2）f(x)?arcsinx,??1,1?；
（3）f(x)?ax2?bx?c,?x0,x0?h?(h?0).
?5?解答：（1）由于f()??ln2?f()，令f'(?)?cotx66（2）由于f(1)?x???0，有??π； 2?2,f(?1)???2，令f'(?)?11?x2x??π2?4f(1)?f(?1)???，得???；
1?(?1)2π（3）由于f(x0?h)?a(x0?h)2?b(x0?h)?c,f(x0)?ax02?bx0?c，令
f'(?)?(2ax?b)x???f(x0?h)?f(x0)1?2ax0?ah?b，得??x0?h。
h2难度：一级
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4．函数f(x)?1在区间?a,b?上是否满足拉格朗日定理的条件？ x参考答案：当0??a,b?时，f(x)满足拉格朗日定理的条件，当0??a,b?时，f(x)部盲足（不满足？）拉格朗日定理的条件。
11f(b)?f(a)11??，当x?0时，有导数f'(x)??2，所以当解答：由于f(b)?,f(a)?,bab?aabx0??a,b?时，f(x)满足拉格朗日定理的条件，且??ab或???ab；当0??a,b?时，f(x)由于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件。
难度：二级
5．验证函数f(x)?x2,g(x)?x在区间?1,4?上满足柯西定理的条件。
解答：函数f(x)?x2,g(x)?x在闭区间?1,4?上连续，在开区间(1,4)内可导，在区间(1,4)内
g'(x)?12x?0，所以满足柯西定理的条件。
难度：一级
6．若方程a0xn?a1xn?1?????an?1x?0有一正根x?x0，则方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2?????an?1?0必有一个小于x0的正根。
解答：令f(x)?a0xn?a1xn?1?????an?1x ，则由条件知函数f(x)在区间?0,x0?上满足罗尔定理条件，所以至少存在正数??(0,x0)使f'(?)?0，即?为方程a0nxn?1?a1(n?1)xn?2?????an?1?0小于x0的正根，得证。 难度：二级
7．若f(x)在?a,b?上二阶可导，且f(a)?f(b)?f(c)，其中c是(a,b)内的某一点，求证方程
f??(x)?0在(a,b)内必有一实根。
解答：由题设条件知函数f(x)在?a,c?,[c,b]上均满足罗尔定理条件，于是存在
?1?(a,c),?2?(c,b)，使f(?1)?f(?2)?0，再在区间[?1,?2]上应用罗尔定理，有??(?1,?2)?(a,b)，使f??(?)?0，也即方程f??(x)?0在(a,b)内必有一实根。
难度：二级
8．证明方程x3?3x?c?0在开区间(0,1)内不含有两个相异的实根。
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解答：反证法。假设方程x3?3x?c?0在开区间(0,1)内含有两个相异的实根，记为x1,x2，其中x1?x2，且x13?3x1?c?0, x23?3x2?c?0，则在区间[x1,x2]上对函数f(x)?x3?3x?c应用罗尔定理，存在??(x1,x2)?(0,1)，使f'(?)?3?2?3?0，即有???1，与??(x1,x2)?(0,1)矛盾。所以方程x3?3x?c?0在开区间(0,1)内不含有两个相异的实根。 难度：二级
9．不求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根，并指出它们所在的区间。
解答：因为f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0，所以由罗尔定理知方程f?(x)?0至少有三个实根，分别在区间?1,2?、(2,3)、(3,4)内，同时由于函数f(x)为四次多项式，则函数f'(x)为三次多项式，故方程f?(x)?0最多有这三个实根。 难度：二级
10．利用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1）若0?a?b，当n?1时，nan?1(b?a)?bn?an?nbn?1(b?a)； （2）若x?0,x?ln(1?x)?x； 1?x（3）sinx?siny?x?y.
解答：（1）对函数f(x)?xn，当n?1时，由于它在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，应用拉格
?1a???b，故朗日中值定理，存在??(a,b)，使bn?an?f'(?)(b?a)??nn(b?a，由于)n?1nan?1(b?a)??nn?1(b?a)?nb(b?，即)anan?1(b?a)?bn?an?nbn?1(b?a)；
（2）对函数f(x)?ln(1?x)，当x?0时，由于它在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，应用拉格朗日中值定理，存在??(0,x)，使f(x)?f(0)?ln(1?x)?ln1?f'(?)x?xxx?ln(1?x)?x； ??x，故有1?x1?x1??x，由于0???x，1??（3）对函数f(x)?sinx，当y?x时，由于它在[y,x]上连续，在(y,x)内可导，应用拉格朗
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日中值定理，存在??(y,x)，使sinx?siny?f'()?(x?)y类似可证，当x?y时，结论显然。证毕。 难度：二级
习题4-2
求下列极限（22xm?am1．limn；
x?ax?anxm?ammxm?1mm?n?limn?1?a 解答：limnx?ax?anx?anxnc?os(??x)?y?x?y；当x?y时
49题）
难度：一级
ex?e?x2．lim；
x?0sinxex?e?xex?e?x?lim?2 解答：limx?0sinxx?0cosx难度：一级
x?arctanx3．lim；
x?0x3x?arctanx?limx?0x31?1111?x2?lim? x?03(1?x2)3x23解答：limx?0难度：一级
tanx?x4．lim；
x?0x?sinxtanx?xsec2x?1tan2x?lim?lim?2 解答：limx?0x?sinxx?01?cosxx?01?cosx难度：一级 5．lim2lnsinx； 2π(π?2x)x? 86
lnsinxcotx?csc2x1?lim?lim??解答：lim ?(??2x)2??4(??2x)?88x?x?x?222难度：一级
ex?1?x3sin6．limx?0xπ3
ex?1?x3sin解答：limx?0?x3?lim(ex?3x2sin?)?1
x?03难度：一级
ex?e?x7．limx?x；
x???e?eex?e?x1?e?2x?1 解答：limx?x?limx???e?ex???1?e?2x难度：一级
lntan7x8．lim；
x?0?lntan2xlntan7xcot7x?sec27x?7?lim?1 解答：lim2x?0?lntan2xx?0?cot2x?sec2x?2难度：一级
x2?lnx9．lim；
x???xlnx解答：因为limxlnxlnx?1?lim?lim?0，且函数非负，
x???x2?lnxx???1x???12x?2?2xx1xx2?lnx??? 。也可直接用洛比达法则计算极限。 所以limx???xlnx难度：一级
10．limx(e?1)；
x??1x 87