1.如图所示, 一个均匀带电的球层, 其电量为Q, 球层内表面半径为R1, 外表面半径为R2. 设无穷远处为电势零点，求电势分布.
解：设球层电荷密度为?.
?=Q/(4?R23/3?4?R13/3)=3Q/[4?(R23?R13)]
球内，球层中，球外由高斯定理求得电场为
E1=0,
E2=?(r3?R13)/(3?0r2) , E3=?(R23?R13)/(3?0r2)
故
?R11R22?3R1 O R2
r rrR1R2 =0+{?(R22?R12)/(6?0)+[?R13/(3?0)(1/R2?1/R1)]}+ ?(R23?R13)/(3?0R2) =?(R22?R12)/(2?0) =3Q(R22?R12)/[8??0(R23?R13)] ?R22?3R1 rR2 ??R＞R2 U?E?dr?E3dr rr?? 2. 如图所示，一根半径为R2的无限长载流直导体，其中电流沿轴向由里向外流出，并均匀分布在横截面上，电流密度为j。现在导体上有一半径为R1（R1< R2）的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴重合。 试求各区域的磁感强度。 R1 O R2 ??解：用安培环路定理?B?dl??0?Ii来做。 lr R1 22 B2??0j(?r2??R12)/2?r 方向：满足右手螺旋关系 R＞R2 B22?r??0j(?R2??R1) 2B2??0j(?R2??R12)/2?r 22 方向：满足右手螺旋关系 此题也可以用补偿法做。 3．如图14.8所示，长直导线AC中的电流I沿导线向上，并以dI /dt = 2 A/s的变化率均匀增长. 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示. （直角三角形线框向右运动），求此线框中产生的感应电动势的大小和方向（.将直角三角形线框换成长方形呢？将直角三角形线框换成一与长直导线AC垂直棒自由下落呢？） 解：取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元 dS=ydx=[(a+b?x)l/b]dx C I 20cm ?m=B?dS S?aa?b== ??0I?a?b?x?ldx ?2?xbA 5cm 10cm 图14.8 ?0Il?a?b? ??a?bln?b??2?b?a??0l?a?b?dI ??b?a?bln??2?b?a?dt－ εi= ?d?m/dt = = ?5.18×108V 负号表示逆时针 向右运动时 欲求任意时刻的感应电动势,令x’=a+vt即可求得. 4.内外半径为R、r的环形螺旋管截面为长方形,共有N匝线圈.另有一矩形导线线圈与其套合,如图16.4(1)所示. 其尺寸标在图16.4(2) 所示的截面图中,求其互感系数. ???d?mdtd?Il?x'?b???(0?(x'?b)ln?b?dt2?b?x'???0Il?11a?b??lnv??2??aaa?方向:顺时针. (1) 解：设环形螺旋管电流为I, 则管内磁场大小为 B=?0NI/(2??) r≤?≤R a r h R b (2) 图16.4 方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元dS=hd?,由?m=B?dS得 S??m = M=?m/I==?0Nhln(R/r)/(2?) ?0NIhd?=?0NIhln(R/r)/(2?) ?2??rR5. 一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B中，B的方向垂直图面向里． ∠bcd =60°，bc =cd =a．使导线绕轴OO＇旋转，如图，转速为每分钟n转．计算?oo?＇．（将直角三角形线框换成长方形呢？） 解：补回路bcdb,用法拉第电磁感应定律?i??d?/dt求电动势。 O b c d???B O? ? S?1a23/2?3a2/4 2 ??BScos?t， ??2?n/60 ∴ ?bcdb??(d?/dt)?BS?sin?t?(2?BSn/60)sin(2?nt/60) ?(3?na2B/120)sin(2?nt/60) 由于bd不切割磁力线，?db?0 则?oo???bcdb??bd?(3?na2B/120)sin(2?nt/60) 6.如图18.6所示，一半径为a的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为b(b>>a)的大金属圆环共面且同心. 求下列情况下小金属圆环中t时刻的感应电动势. (1) 大金属圆环中电流I恒定，小金属圆环以匀角速度?1绕一直径 ? 转动; a (2) 大金属圆环中电流以I = I0sin?2t变化，小金属圆环不动; b (3) 大金属圆环中电流以I = I0sin?2t变化，同时小金属圆环以匀角I 速度?1绕一直径转动; 图18.6 解：因b>>a,可认为小金属环上的磁场是均匀. ?m=?B?dS=BScos?=[?0I/(2b)]?a2cos? S=?0I?a2cos?/(2b) (1) I恒定,?=?1t: εi= ?d?m/dt =(?d?m/d?)(d?/dt) =?0I?a2?1sin(?1t)/(2b) (2) I=I0sin?2t,?=0: εi=?d?m/dt=(?d?m/dI)(dI/dt) =??0?a2I0?2cos?2t/(2b) (3) I=I0sin?2t,?= ?1t: εi= ?d?m/dt = ?[(??m/??)(??/?t)+(??m/?I)(?I/?t)] =[?0I0?a2/(2b)][?1sin(?1t)sin(?2t)??2cos?2t] 7. 静止长度为90m的宇宙飞船以相对地球0.8c的速度飞离地球,一光脉冲从船尾传到船头.求:(1) 飞船上的观察者测得该光脉冲走的时间和距离；(1) 地球上的观察者测得该光脉冲走的时间和距离. 解：设地球和飞船分别为K和K?系,有 (1)飞船上观察者测飞船长度为固有长度,又因光速不变,有 ?x?=90m ?t?=?x?/c=3×10?7s (2)地球上观察者 ?x=(?x?+v?t?)/(1?v2/c2)1/2 =270m ?t=(?t?+v?x?/c2)/(1?v2/c2)1/2 =9×10?7s 或 ?t=(?t?+v?x?/c2)/(1?v2/c2)1/2 =(?x?/c+v?x?/c2)/(1?v2/c2)1/2 =[(?x?+v?t?)/(1?v2/c2)1/2]/c =?x/c=9×10?7s 8. 半人马星座?星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座?星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c，按地球上的时钟计算要用多少年时间？如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年？ 解：以地球上的时钟计算： ?t?S?4.5 年 vv2以飞船上的时钟计算： ?t???t1?2?0.20 年 c 9.一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测， (1) 隧道的尺寸如何？ d/2 (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？ h vLd解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。 v2隧道长度为 L??L1?2 c (2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为 L1?(v/c)2?l0L?l0? ? t?? vvv这也即列车全部通过隧道的时间. 10. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为λ = 434nm，试求： (1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特. (2) 该谱线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生的，n和k各为多少. (3) 最高能级为E5的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线(不必计算波长值). 请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪条谱线. 解：(1) h??hc/??2.86 eV ． (2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =2 EK?E1/22??3.4 eV (E1 =－13.6 eV) En?E1/n2?EK?h? n =5n =4n =3n =2n?E1?5． EK?h?(3) 可发射四个线系，共有10条谱线． 见图 波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线． n =1