厦门双十中学2011届高三热身考试理科数学试题
满分：150分 时间：120分钟
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合M?{x|0?x?3}，N?{x|x2?3x?4?0}，则集合M?N等于 ( ▲ ) ． A．{x|0?x?3} B．{x|0?x?3} C．{x|0?x?1} D．{x|0?x?1} 2．已知x?R，i为虚数单位，若(1?i)i??1?xi，则x的值等于 ( ▲ ) ． A．0 B．－1 C．1 D．2
*2
3.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·?·an=n，则a3+a5等于 ( ▲ ) ．
A.
31 15 B.
25 9 C.
25 16 D.
61 16?是三个互不重合的平面，l是一条直线，4．已知?、?、下列命题中正确命题是 ( ▲ ) ．
A．若???,l??，则l//? B．若l上有两个点到?的距离相等，则l//? C．若l??,l//?，则??? D．若???,???，则???
22xy5．已知F1、F2分别是椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的ab一点，点B也在椭圆 上，且满足OA?OB?0（O为坐标原点），AF2?F1F2?0，若椭圆的离心率等于
2, 则直线AB的方程是 ( ▲ ) ． 2222A． y?2x B．y??2x C．y??3x D．y?3x
2?(x??（)其中A?0,|?|?6．函数f(x)?Asin?2）的图象如图所示，为了得到
7.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第
nn天的维修保养费为?4.9(n?N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合
10算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 ( ▲ ) ． A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天 8.已知2?a?2，则函数f(x)?g(x)?sin2x的图像，则只需将f(x)的图像 ( ▲ ) ．
??A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
126??C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
126a2?x2?x?2的零点个数为 ( ▲ ) ．
A．1 B．2 C．3 D．4
第 1 页 共 9 页
9．实数a???1,1?,b??0,2?.设函数f(x)??1312x?ax?bx的两个极值点为x1,x2,现向32点?a,b?所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使x1??1且x2≥1的区域的概率为 ( ▲ ) ．
1111 B． C． D． 2345x2y222210.从双曲线2?2?1(0?b?2a)的左焦点F引圆x?y?a的切线，
abA．
切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,O为坐标原点，M为PF 的中点，则
|MO|?|MT|与b?a的大小关系为 ( ▲ ) ．
A．MO?MT?b?a B．MO?MT?b?a C．MO?MT?b?a D．.不能确定
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置．
?2x(x?0)11．已知函数f(x)??,则f(?8)= ▲ ．
?f(x?3)(x?0)12.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率是 ▲ ．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5?a3??(2x?1)dx，则S9= ▲ ．
02S52开始T=1,S=0输入xx≤60？否S=S＋1是T=T＋114.已知点P是?ABC的中位线EF上任意一点，且EF//BC，实数x，y
否T>1000？是输出S结束????????????满足PA?xPB?yPC?0．设?ABC，?PBC，?PCA，?PAB的面积分别
SSS为S，S1，S2，S3， 记1??1，2??2，3??3．则?2??3取最大值时，
SSS2x?y的值为 ▲ ．
15．“点动成线，线动成面，面动成体”。如图，x轴上有一条单位长度的线段AB，沿着与
其垂直的y轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形
ABCD），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z轴方向平移一个单位长度，则正方
形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD?A。请你设想存在四维空间，1BC11D1）将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m,n,p的值分别为 ▲ ．
第 2 页 共 9 页
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）
在锐角．．?ABC中，A,B,C三内角所对的边分别为a,b,c．
??????1设m?(cosA,sinA),n?(cosA,?sinA),a?7，且m?n??2
（Ⅰ）若b?3，求?ABC的面积； （Ⅱ）求b?c的最大值.
17.（本小题满分13分）
225122的圆心为M，圆N：(x?3)?y?的圆心为1616N，一动圆与圆M内切，与圆N外切． （Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
已知圆M:(x?3)?y?22（Ⅱ）在（Ⅰ）所求轨迹上是否存在一点Q，使得?MQN为钝角？若存在，求出点Q横
坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13分）
某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y?{1,2,3}），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中
开始 输入x,y 否 x?1?y?2?2 是 输出“中奖” 输出“谢奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概
结束 率；
（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该
慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．
D 19．（本小题满分13分）
某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE?平面ADC；②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60?；③包装盒的体积尽可能大。 若设计部门设计出的样品满足：?ACB与?ACD均为直角且AB长20cm，
C
第 3 页 共 9 页
E
A B
矩形DCBE的一边长为30cm，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．
20．（本小题满分13分） 已知数列?an?满足a1?1,an?1?满足cn?an?bn．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）Sn?a1?a2?...?an，Tn?b1?b2?...?bn，试比较Sn?n与Tn的大小，并证明； （Ⅲ）我们知道数列?an?如果是等差数列，则公差d?an,(n?1)，数列?bn?满足bn?lnan，数列?cn? an?1an?am(n?m)是一个常数，显然
n?mc?cmc?c(n?m)不是一个常数，但nm(n?m)是否会小于等在本题的数列?cn?中，nn?mn?m于一个常数k呢，若会，请求出k的范围，若不会，请说明理由．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，
如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
-6??6??，向量????5??． -3???????? (I)求矩阵M的特征值?1、?2和特征向量?1和?2；
(II)求M6?的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?2cos?，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为???为参数?．以直角坐
y?sin???7已知矩阵M???4?标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
?cos??π?22．
4（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．
第 4 页 共 9 页
?? （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知：a、b、c?R?,求证:a?b?c?2221(a?b?c)2； 3w.w.w.g..x.x.c.o.m （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.
厦门双十中学2011届高三热身考试理科数学参考答案
1-5．ACDCA 6-10．ABDCB
3 15．16,32,24 2???112216．解：（Ⅰ）由m?n??得cosA?sinA??
221?2??即cos2A??, ?0?A?,0?2A?? ?2A? ,A? ??3分
32232222由a?b?c?2bccosA得c?3c?2?0 ?c?1或2
?c?1时， cosB?0,?c?1舍去，?c?2 ?????????????5分
11．2 12．0.32 13．9 14．
11?33. ??????????? ???7分 ?S?b?c?sinA??3?2?sin?2232222?b2?c2?bc?7 ???????????9分 （Ⅱ）a?b?c?2bccosA b?c2(b?c)2?3bc?7?3()?7 ?(b?c)2?28 ????????11分
2b?c?27 当且仅当时b?c取等号 ?(b?c)max?27. ??????13分
151?r,|PN|?r? 17．解: （Ⅰ）设动圆P的半径为r,则|PM|?44两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为23，实轴长为4的椭圆
x2?y2?1 ??????????????????????6分 其方程为4?????????（Ⅱ）假设存在，设Q（x,y）.则因为?MQN为钝角，所以QM?QN?0 ??????????????????QM?(?3?x,?y)，QN?(3?x,?y)，QM?QN?x2?y2?3?0
x2y2??1 又因为Q点在椭圆上，所以
418x22?3?0化简得：x2?， 联立两式得：x?1?34解得：x?(?分
18.解:（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有
第 5 页 共 9 页
2626,)，所以存在。??????????????????? 1333