两自由度机械手动力学问题
1题目
图示为两杆机械手，由上臂AB、下臂BC和手部C组成。在A处和B处安
装有伺服电动机，分别产生控制力矩M1和M2。M1带动整个机械手运动，M2带动下臂相对上臂转动。假设此两杆机械手只能在铅垂平面内运动，两臂长为l1和l2，自重忽略不计，B处的伺服电动机及减速装置的质量为m1，手部C握持重物质量为m2，试建立此两自由度机械手的动力学方程。
图1
图2
2数值法求解
2.1拉格朗日方程
此两杆机械手可以简化为一个双摆系统，改双摆系统在B、C出具有质量m1,m2,在A、B处有控制力矩M1和M2作用。考虑到控制力矩M2的作用与杆2相对杆1的相对转角θ2有关，故取广义力矩坐标为
q1??1,q2??2
系统的动能为二质点m1、m2的动能之和，即
由图2所示的速度矢量关系图可知
以A处为零势能位置，则系统的势能为
由拉格朗日函数，动势为：
广义力Q1?M1,Q2?M2
求出拉格朗日方程中的偏导数，即
代入拉格朗日方程式,整理得:
2.2 给定条件
（1）角位移运动规律
?1?t???0.1163*t3?0.52335*t2，?2?t???0.1163*t3?0.52335*t2
?1和?2都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。 （2）质量
m1=4㎏ m2=5kg （3）杆长
l1=0.5m l2=0.4m
2.3 MATLAB程序
t=0:0.1:3;
theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a1=-0.6978*t+1.0467;
theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a2=-0.6978*t+1.0467;
m1=4; m2=5; l1=0.5; l2=0.4; g=9.8;
D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); D22=m2*l2.^2;
D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D111=0;
D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); D222=0;
D211=m2*l1*l2*sin(theta2); D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); D212=0; D221=0;
D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2);
D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2);
M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; T1=polyfit(t,M1,3) T2=polyfit(t,M2,3)
subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion1') subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion2')
2.4 数值计算结果
M1?t???3.5685*t3?3.7329*t2?31.7993*t?1.6167 M2?t???0.0679*t3?8.9481*t2?25.9801*t?1.5449
图3 M1变化规律图
图4 M2变化规律图
3 ADAMS仿真
3.1模型建立
图5 模型图
3.2 施加运动
在两个关节处分别施加位移函数
图6 关节运动施加图
位移函数为：step(time,0,0,3,pi/2) 运动规律如下图所示：
图7 关节处运动规律图