2．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换
?1,x(t)???0,t?T1t?T1
解：由例可知x(t)的傅里叶变换为
X(f)?2T1sinc2?fT1
根据傅里叶变换的比例特性可得
如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移
Fx(0.5t)??F?x(2t)??1f??2T1sinc?2?T1??4T1sinc?4?fT1?0.50.5??1f??2T1sinc?2?T1??T1sinc??fT1?22??动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。
2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-TTtfx(t/2)1a=1.0-1/TT1/T-T/2T/2t1 fx(t/2)1a=2.0-2/TT/22/T-T/4T/4t1 f 题图2-17 时间尺度展缩特性示意图
3．所示信号的频谱
x(t)?12x1(t?2.5)?x2(t?2.5)
式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。
解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为
sin?fsin3?f和X2(f)? X1(f)??f?f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：
X(f)?e?j5?f?1sin?f?sin3??2??
?f??
x(t)
tx1(t)x2(t)tt图2-31
4．求指数衰减振荡信号x?t??eX(?)??atsin?0t的频谱。
12?12?j2????0?0ee?atsin?0t?e?j?tdt解：
??(a?j?)tsin?0td)
sin?0t?X(?)??1()?2?201j(e?j?0t?ej?0t?e?(a?j??j?0)t?e?(a?j??j?0)t?dt
?j?11()???2?2?(a?j?)?j?0(a?j?)?j?0?1??0222?(a?j?)??0
5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱
解 在x(t)的一个周期中可表示为
?1x(t)???0t?T1T1?t?T2
该信号基本周期为T，基频?0=2?/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：
2T11T1c0?a0??dt?
T?T1T当n?0时，
cn?1T?T1?T1e?jn?0tdt??1jn?0Te?jn?0tT1?T1
最后可得
?ejn?0t?e?jn?0t?cn???
n?0T?2j?注意上式中的括号中的项即sin (n?0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为
2cn?2sin(n?0T1)n?0T?2?Tsinc(n?0T1)，n?0
其幅值谱为：cn?
第四章
2T1Tsinc(n?oT1)，相位谱为：?n?0,?,??。频谱图如下：
Cn2T1/T0??/T10?Cn2T1/T?/T10?0??n?0???9．已知某一线性电位器的测量位移原理如图所示。若电位器的总电阻R=2kΩ，电刷位移为X时的相应电阻Rx=1kΩ，电位器的工作电压Vi=12V,负载电阻为RL。 (1)已测得输出电压Vo=5.8V,求RL。? (2)试计算此时的测量误差。 解：
(1) 当V01=5.8时，5.8=
5.8=
5.8=
(２) (３)
空载时ＲＬ＝
设测量出5.8Ｖ输出电压时的测量误差
则测量误差为3.3%
第5章
1、已知余弦信号x(t)?cos2?f0t，载波z(t)?cos2?fzt，求调幅信号xm(t)?x(t)?z(t)的频谱。
解： F[x(t)]?F[z(t)]?1212?(f?f0)??(f?fz)?1212?(f?f0)?(f?fz)
1111Xm(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]?[?(f?fz)??(f?fz)]2222?14[?(f?fz?f0)??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)]2、求余弦偏置调制信号xm(t)?(1?cos2?f0t)cos2?fzt的频谱。
解：
Xm(f)?F[cos2?fzt]?F[cos2?f0t?cos2?fzt]?12[?(f?fz)??(f?fz)]?14[?(f?fz?f0)??(f?fz?f0)
??(f?fz?f0)??(f?fz?f0)]3、已知理想低通滤波器
?j2?f?0??A0eH(f)????0f?fc其它
试求当?函数通过此滤波器以后的时域波形。
解：根据线性系统的传输特性，将?函数通理想滤波器时，其脉冲响应函数h(t)应是频率响应函数H(f)的逆傅里叶变换，
由此有：
h(t)???????fcH(f)eA0ej2?ftdfj2?ft?j2?f?0?fcedf
?2A0fcsinc[2?fc(t??0)]第六章
6. 模数转换器的输入电压为0～10V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？ 解
设量化装置的位数为m。
若要识别2mV的信号，则
102m?2?10?3，得m?13
若要识别1mV的信号，则
102m?1?10?3，得m?14
7．模数转换时，采样间隔?分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，要求抗频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为理想低通）？ 解
采样间隔?取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别对应的采样频率为1000Hz，2000Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（理想低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。8. 已知某信号的截频fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔?f＝1Hz。问：1)采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)数据块点数N应满足什么条件？3)原模拟信号的记录长度T＝?
解：1）信号的带宽为125Hz，采样频率应该大于等于它的两倍，所以 fs?250Hz ， ??1fs?4ms。
1) 频率分辨间隔?f＝1Hz，所以N??1 s。如果取??4ms，则 N?250
若N 值取基2数，则N＝256。
3) 模拟信号记录长度T?N?理论上至少应在1.024秒以上。.
11．有一应变式测力传感器，弹性元件为实心圆柱，直径D=40mm。在圆柱轴向和周向各贴两片应变片（灵敏度系数s=2.），组成差动全桥电路，供桥电压为10v。设材料弹性模量E=2.1?1011pa，泊松比υ=0.3。试求测力传感器的灵敏度（该灵敏度用μv/kN表示）。
解：设受压缩 F,轴向贴的应变片 ?R1??R3?S?R 横向贴的应变片：?R3??R4???SR
设原电阻 R1?R2?R3?R4 ，则受力F后：
R1?R??R1 , R3?R??R3, R2?R??R2 , R4?R??R4 电桥输出电压变化： ?U?R1R3?R2R4(R1?R2)(R3R4)Ux
???R1??R2(R??R1?R??R2)?R1??R22R??R1??R2?R1??R22RUx2Ux ????Ux