数与代数
第一部分：数的认识
（一）整数
1、自然数：数物体的时候,用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。
自然数的单位是“1”，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的，自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0。自然数是整数的一部分，也就是说自然数都是整数，但是不能
说整数就是自然数。 2、十进制计数法
一(个)、十、百、千、万……都叫做计数单位，其中“一”是计数的基本单位。10个一是十,10个十是百……10个一百亿是一千亿……每相邻两个计数单位之间的进率都是十.这种计数方法叫做十进制计数法.
3、整数的读法和写法：读数时,从高位起,一级一级地往下读,属于亿级和万级的要读出级名。读数时,每级末尾的“0”都不读,其他数位有一个0或连续几个0都只读一个0。如：8000406000读作：八十亿零四十万六千；写数时,从高位起,一级一级地往下写,哪一位上一个单位也没有,就在哪个数位上写0。
4、四舍五入法、进一法和去尾法求近似值：
求一个数的近似数,要看尾数的最高位上的数是几,如果比5小,就把尾数都舍去;如果尾数最高位上的数是5或大于5,就把尾数舍去后,要向它的前一位进1,这就是四舍五入法；如制作一个圆柱铁桶时，要对它所需的铁皮取近似值时，我们不管尾数满不满5都一律向它的前一位进1，这就是进一法；如用一个容器装水或油时，要对它所装的水或油取近似值时，我们不管尾数满不满5都一律舍去不要，这就是去尾法。 5、整数大小的比较：
比较两个多位数的大小,首先看它们位数的多少,位数较多的数较大;如果两个数的位数相同,那么首先看最高位,最高位上的数较大的,这个数就大；如果最高位相同,则左边第二位上的数较大的,这个数就大…… 6、整数和小数的数位表：
整数部分 亿级 万级 个级 小数部分 十百千万分分分分位 位 位 位 十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 … 千百十亿千百十万千百十个小位… 亿亿亿位 万万万位 位 位 位 位 数数 位 位 位 位 位 位 点 计千百十亿 千百十万 千 百 十 个 。 数亿 亿 亿 万 万 万 单位 …
7、数的整除
（1）、基本概念：
（a）整除：整数a除以整数b(b?0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b
整除，也可以说b能整除a。 除尽
整除是除尽的一种特殊情况。整除与除尽的关系如图：
整除 （b）因数和倍数：如果数a能被数b(b?0)整除，我们就说，a是b的倍数，
b是a的因数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (如：15最小的因数是1，最大的因数是15。)
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。） （c）能被2、3、5整除的数的特征：（用在约分中最明显）
能被2整除的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（如302） 能被3整除的特征是：把各位上的数字加起来能被3整除。
（如：324 3＋2＋4＝9能被3整除）
能被5整除的特征是：个位上是0或5的数。（如：15、105、230）
在约分时的应用：
121416 观察分子分母的个位就很快知道能被2整除。 403638
121836 观察分子分母就知道这些数同时能被2、3整除。 363048
152045 观察分子分母可以知道能同时被3、5整除。 304560（d）奇数和偶数，质数和合数，质因数和分解质因数
偶数：在自然数中，能被2整除的数。（如：12、110等） 奇数：在自然数中，不能被2整除的数。（如：11、45等） 自然数可分为： 偶数 奇数 质数：一个大于1的数只有1和它本身两个因数的，这样的数叫质数，质数也叫素数。（如：31）
20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。其中最小的质数是2。
合数：一个数除了1和它本身外，还有别的因数的，这样的数叫做合数。（如：25、30）
最小的合数是4。 非0自然数可分成： 1 质数 合数 1既不是质数也不是合数。 质因数：每个合数都能写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。叫做
这个合数的质因数。（如：18＝2x3x3）
分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。方法用短除法：
2 30 3 15 5 30=2×3×5
把30分解质因数正确的做法是( B ) A.30=1×2 ×3 ×5 B.2 ×3 ×5=30 C.30=2×3×5
（e）最大公因数和最小公倍数，互质数
最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个
数的最大公因数。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个
数的最小公倍数。
互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。（如：5和7） ? 判断互质数的两种简单方法：
①两个数都是质数,这两个数一定互质。（如3和11是互质数） ②相邻的两个数自然数，一定是互质数。（如8和9是互质数） ③1和任何数都互质。（如1和12是互质数）
（f）求最大公因数和最小公倍数的两种特殊的情况。
如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是他们的乘积。
如果两个数中的大数是小数的倍数，那么较小的数是这两个数的最大公因数；较大的数是
这两个数的最小公倍数。
（如：7和11，2和17，5和7，8和9他们是互质数，所以最大公因数是1，最小公倍数是
他们的乘积。
7和14，15和45，25和75他们就是倍数关系，所以最大公因数是较小的数，最小公
倍数是较大的数。）
（g）求最大公因数和最小公倍数的方法：用短除法
2 5
30 15 3
50 25 5
30和50的最大公因数是2×5=10 （除数相乘） 30和50的最小公倍数是2×5×3×5=150 （所有的除数和商相乘） 商互质
(二)小数、分数、百分数、比和比例
1、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
a两个整数相除的商也可以用分数来表示，即：a÷b＝ (b≠0)。
b(表示所取的份数)
分数各部分的名称:
4 7
分子 分数线 分母
(表示平均分的份数)
真分数：分子小于分母的分数叫做真分数。（如：分数可以分为 19 ） 5105958假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。（如：，）
2、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常用“％”来表示
6成数：“几成”就是“十分之几”。如：六成＝＝60％ ，三成五＝35％
10折扣：“几折”就是原价的百分之几十，如：五折＝50%，七八折＝78%。
注意：百分数是一种特殊的分数，它只能表示分率，而不能表示数量，因此，在百分数的后面不能带上计算单位。
3、小数：把整数“1”平均分成10份,100份……这样的一份或几份分别是十分之几,百分之
几……可以用小数表示。
（1） 小数点右边第一位是十分位,计数单位是十分之一;第二位是百分位,计数单位是百
分之一……
（2）小数部分的最大计数单位是十分之一,没有最小的计数单位. （3）小数部分有几个数位,就叫做几位小数。
（4）小数的读法和写法：读小数时,小数的整数部分按整数的读法来读,小数点读作“点”,
小数部分按照顺序读出每一个数位上的数字； 写小数时,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 （5）小数的分类
有限小数：小数部分的位数是有限的。（如：3.125，0.45687） A、按小数部分分为： 无限不循环小数：（如：?＝3.1415626…… 无限小数：
（小数部分的位数是无限的） 循环小数： 一个小数，从某一位起一个数 字或几个数字依次不断重复出现，这样的
小数叫做循环小数。（如： 2.231231231…… ，0.2787878……）
纯小数：整数部分是0的小数叫做纯小数。纯小数都小于1。（0.3，
0.154，0.27878……）
B、按整数部分分为： 带小数：整数部分不是0的小数叫做带小数。带小数都大于1。（1.256，2.4765，3.212121……）
（6）判断分数能否化成有限小数的方法：
把最简分数的分母分解质因数，在质因数中只有2和5两个因数组成的就能化成有限
5小数。（如：的分母8分解质因数是2×2×2中，只有2，所以能化成有限小数。有如：
898中的分母20分解质因数是2×2×5中，只用2和5，也能化成有限小数。有如：中2015的分母15分解质因数是3×5中，不是2和5而是3和5，所以不能化成有限小数。） （7）小数点数位移动引起小数大小的变化：小数点向右(左)移动一位、两位、三位……原来的数就扩大(缩小)10倍、100倍、1000倍……。如果要把一个数扩大或缩小10倍、100倍……只需要移动小数点,数位不够时用0补足。
4、小数、分数、百分数的互化.
……的分数，再约 小数 先写成分母是 10 、 100 、 1000 分子分数 ?分母 百分数 判断一个分数能否化成有限小数的方法：现将其约成最简分数，如果分母里只含有质因数2和5，这个分数就能化成有限小数；如果分母里含有2、5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
5、比和比例
（1）比和比例的意义和性质。 意义各部分名称 基 本 性 质 应用 比 分数 除法 前项 分子 被除数 比号 分数线 除号 一般方法 比 两个数相除又叫做两个数的比 6 ： 5＝ 1.2 前项 比号 后项 比值 比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 化成最简单的整数比 联系 后项 分母 除数 比值 分数值 商 比例 表示两个比相等的式子叫做比例。 6 ： 5 ＝ 12 ： 10 内项 外项 在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。 组比例，解比例。 区别 表示两个数的倍数关系 是一个数 是一种运算 结果 （2）比、分数、除法的联系和区别 (3)求比值和化简比的区别：