数学专题之【四边形存在性问题】精品解析
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中考数学专题训练【四边形存在性问题】提升与解析
例1.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，
AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。 （1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的
解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、
Q为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【考点】一次函数综合题，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，菱形的判定和性质。
【分析】（1）构造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的长度，即可求出B点坐标。
（2）已知E点坐标，欲求直线DE的解析式，需要求出D点的坐标．构造△ODG∽
△OBA，由线段比例关系求出D点坐标，从而可以求出直线DE的解析式。
（3）如图所示，符合题意的点Q有4个：
设直线y=－x+4分别与x轴、y轴交
于点E、点F，
则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，
EF=42。
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边。 则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF－
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——————————————————————————————————————— P1E=42－4。
易知△P1NF为等腰直角三角形， ∴P1N=NF=2P1F=4－22。 2设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1－P1N=4－（4－22）=22。 又ON=OF－NF=22，∴Q1（22 ，－22）。
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边。此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2（－
22，22）。
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边。
此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）。 ④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线。 由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=－x+4得横坐标为2，则P4（2，
2）。
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或y轴对称，∴Q4（－2，2）。
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标
为：
Q1（22，－22），Q2（－22，22），Q3（4，4），Q4（－2，2）。
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例2.如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B
点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）． （1）求G点坐标； （2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。
（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F
点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。
（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探
究可能的平行四边形的形状：
若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，
则可能存在以下情形：
①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴
上，如图1所示。
过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB=3，即yM1=3。
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由直线EF解析式y?3x?4?23，求出xM1?∴M1（3?43。 33?43。 ， 3）
3②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴
上，如图2所示。
仿照与①相同的办法，可求得
（M2
1?43。 ， ?3）3③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。 过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH
≌△GN3C，
则有M3H=CG=43，所以M3的纵坐标为8－3。 代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为∴M3（1+43。 31+43。 ， 8?3）3综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点
M的坐标为：M1（
4
3?431?431+43，M2（，M3（。 ， 3）， ?3）， 8?3 ）
333数学专题之【四边形存在性问题】精品解析
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例3.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x
轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒． (1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。
【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。
（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。
（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（， 若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则 ①当AQ为对角线时，点M1的横
坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为∴M1（， 412）。 551222+2=。55422）。 55 ②当PQ为对角线时，点M2的横
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