经典教育
第25章 质数、合数与分解质因数
25.1 x是正数，x表示不超过x的质数的个数.如5?3，即不超过5.1的质数有2、3、5共3个.那么19?93?4?1?8的值是（ ）.
A.12 B.11 C.10 D.9
25.2 若正正数a、b、c满足a2?b2?c2，a为质数，这b、c两数（ ）. A. 同为奇数 B.同为偶数 C.一奇一偶 D.同为合数
25.3 如果x是某正整数的立方，而d表示x的正约数的个数，那么d有可能是（ ） A.200 B.201 C.202 D.203
25.4 对于正整数N，如果把它的各位数字顺序倒过来所得的数恰好等于N.那么就称N为回文数.1991年是20世纪中唯一具备一下两个性质的年份：（1）它是一个回文数；（2）它可以分解为一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的乘积.那么1000年到2000年间具有（1）、（2）两条性质的年的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D. 5 25.5 若1?2?3? ?99?100?12nM，其中M为自然数，n为使等式成立的最大的自然数，则M（ ）
A.能被2整除，但不能被3整除 B.能被3整除，当不能被2整除. C.能被4整除，但不能被3整除 D.不能被3整除，也不能被2整除
25.6 若数N?20?30?50?70?110?130，则不是N的因数的最小质数是 .
25.7 1100这100个自然数中有 个质数，有 合数.
25.8 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于 .
25.9 对于一个正整数n，若能找到正整数a和b，使得n?a?b?ab，则称n为一个“好数”.例如3?1?1?1?1，即3是一个“好数”.在1100这100个自然数中，“好数”共有 个.
资料1
经典教育
25.10 设a、b为两个质数，且a、b为方程x2?99x?m?0的两个根，m为整数，则
25.11 p、q均为质数，且5p?7q?29，则pq?qp= . ba
?的值是 . ab
25.12 设a，b，c皆为质数，a+b+c=68，ab+bc+ca=1121，那么abc= .
?111???25.13 如果y和z均为质数，试解方程组?xyz.
?x?yz?25.14 求方程组xy?1?x的所有质数解.
25.15 立方体的每个面上都写有一个正整数，并且相对两个面所写的两数之和都相等.若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c.
试求a2?b2?c2?ab?bc?ca的值.
25.16 a与b是两个质数?a?b?，并且a?b与a?b也都是质数.试确定19a?97b的值. 25.17 求所有这样的素数，它既有两个素数的和，又是两个素数的差.
25.18 已知正整数p、q都是质数，并且7p?q与pq?11也是质数， 试求pq?qp?2p?2q的值.
25.19 设p与q为质数，且知方程x4?px3?q?0具有整数根，试求出p与q.
25.20 求三个素数，使得它们的积为和的5倍.
25.21 以??n?表示与正整数n互质且小于n的正整数的个数. （1）p、q是两相异的质数.求证：??pq???p?1??q?1? （2）利用（1）的结论，求满足??pq??3p?q的p、q的值.
资料1
????经典教育
25.22 若p和p+2都是大于3的质数，求证：6可以整除p+1.
25.23 求证：如果p?p?1?是一个质数，那么p2?1能被24整除.
25.24 求证：如果正整数n为大于4的合数，那么从1到n-1的连续自然数之积能被n整除.
25.25 问：具有哪种性质的正整数n，能使1?2?3?
25.26 问是否存在一个两位数ab，使得ab和它的反序数ba的差是一个素数？ 25.27 求证：28?25?56?512是合数. 25.28 求证：1004041是合数.
25.29 求证：对任意的正整数n，11???1211???1是合数.
nn?n能整除1?2??n？
25.30 求证：4545?5454是合数.
25.31 证明：任意含有k个0，k+1个1?k?1?的十进位制数1010???101是合数. 25.32 设a、b、c、d是正整数，并且a2?b2?c2?d2，求证：a?b?c?d一定是合数. 25.33 设a、b、c、d是正整数，并且ab?cd，求证：a3?b3?c3?d3不是素数.
25.34 设p1和p2是两个相邻的奇质数，且p1?p2?2n，其中n是正整数.求证：n是一个合数.
25.35 当n为怎样的正整数时，数32n?1?22n?1?6n是合数？
25.36 已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数.试问：5n+3能否是质数？ 25.37 设m是正整数，如果2m?1?3，2m?1是素数，证明：m是偶数.
25.38 证明：对每个正整数n，总能找到正整数m，使得nm+1是合数.
25.39 证明：存在无限多个正整数a有下列性质：对任何正整数n，z?n4?a都不是素数.
资料1
经典教育
25.40 令Nm?8m?9m2，已知N1?17，N3?539及N5?32993都是素数，问：是否对所有的奇数m，Nm都是素数？有多少个奇数m使Nm为合数？
25.41 给定下表
求证：（1）若N在表中，则2N+7不为素数. （2） 若N不在表中，则2N+7为素数.
25.42 设a是大于1的正整数，p是a的大于1的最小约数.求证：p是质数.
25.43 若n是正整数，且?n?1?|1?2?3??n?1，求证：n+1是个质数.
25.44 设n是大于1的正整数，如果所有不大于n的质数都不能整除n.求证：n是质数. 25.45 求证：若2n?1是素数，则n必为素数.
25.46 若n是大于2的自然数.求证：2n?1与2n?1中至多有一个质数.
25.47 （1）哪些素数能写成两个平方数之差？
（2）哪些素数能写成两种（或更多种）不同形式的两平方数之差？
25.48 求证：任意不超过1995但不等于1的15个两两互质的自然数中，至少有一个是质数. 25.49 若一个自然数是质数，并且它的数字的位置经过任意交换后仍然是质数，则称这个质数为绝对质数.试证：绝对质数不能多于三个不同的数字.
25.50 互为反序数的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数.
1125.51 求一最小正整数，使它的一半是平方数，它的是立方数，它的是五次方数.
3525.52 设a1,a2?,a8是8个互异的整数。a是它的算术平均值，若r是方程
资料1
经典教育
?x?a1??x?a2???x?a8??1980aa?0的整数根，试证：r?a?2或r?a?2.
25.53 有一个正整数，若加上100，则为一完全平方数；若加上168，则为另一个完全平方数.求此数. 25.54 设n?p11?prr是n的标准分解式，试证：n的正约数个数d?n?及正约数之和??n?由下式给出：
d?n???a1?1???ar?1? ①
??n???1?p1???p1a???1?pr???pra1r? ②
p1a1?1?1prar?1?1??p1?1pr?125.55 已知自然数p只有两个约数，那么9p有多少个约数？ 25.56 当d?n??8时，最小的n是什么自然数？
?1不能有365个因数. 25.57 求证：n?11???197725.58 求最小自然数N，使得它是83的倍数，并且N2有63个因数.
25.59 有一个小于2000的四位数，它恰有14个约数，其中有一个素因数的末位数是1，求此四位数. 25.60 求出最小正整数n.使其恰有144个正因数，并且其中有10个是连续整数. 25.61 自然数n的约数中没有不等于1的平方数，并且所有正约数的和等于2n，求n. 25.62 设m和n为正整数，试问：自然数m?n?9?m?2n?3最少有多少个不同的质因数？
2??25.63 设a,b,c,d都是正整数，且a?b,c?d,c?a?19，求d?b. 25.64 数20！有多少个正整数因子？
25.65 给定一个正整数，将它写成最简分数的形式并计算这时分子与分母的乘积.试问：在0和1之间有多少个正整数按上面方式得到的乘积恰好是20！？
25.66 是否存在这样的6个连续正整数n,n?1,n?2,n?3,n?4,n?5.把它们任意分成两部分（每部分至少有一个数），使得一部分的所有数的乘积等于另一部分所有数的乘积？
25.67 设p是个奇素数.证明：存在唯一的正整数x,y.使得x?y?y?p?，并给出用p来表示的x
25432和y的公式.
25.68 能否将1，2，3，…，7，8和9填在图中的3×3的方格表中.使横向和竖向相邻两数之和都是质数？如果能，请给出一种解法；如果不能，请说明理由.
25.69 魔法六角星的每条直线边上的4个数字之和都相等.图中的魔法六角星中的12个数都是质数，所给出的5个数中包含了其中的最大数和最小数.请完成此魔法六角星.
资料1
经典教育
25.70 某公司股票的市值在每天11：00都会上涨或下跌n个百分点，n是小于100的固定正整数，这时市值就不一定总是整数.那么你认是否存在这样的n，经过若干次涨跌后能使股票取得同样的市值呢？
25.71 证明：从任意6个互质的四位数中能选出5个数是互质的.
25.72 若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”.例如：2，3，5，7，11，13（31），17（71），37（73），79（97），113（131，311），199（919，991），337（373，733），…都是绝对质数.求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7与9.
资料1