用二次函数解物理极值问题 河北省平泉县 王瑞军
在初中物理中，有许多地方出现极值问题，这些问题可以用极端法去思考。为了严谨、说明问题，可以从理论上用二次函数推导。
例１ 如图圆环是一个电阻丝，阻值为Ｒ，Ａ点固定，Ｂ点可以在圆环上滑动.。求Ａ、Ｂ两点间的最大阻值是多少？
分析：ＡＢ两点把圆分成两部分,
两部分并联阻值为ＡＢ两点间的电阻。Ｂ点无论是在上面，还是在下面越接近Ａ点阻值都越来越小，如果Ｂ点与Ａ点重合了，
B ＡＢ间的阻值就为０了。这样可知Ｂ点把圆环平分为二
时，阻值最大。这样说，有的同学认为证据不足。那么，
A 用二次函数去推导就有说服力了。
ＡＢ两点把圆分成两部分，阻值分别为Ｒ1和Ｒ2，即R1+R2=R，由上面分析可得那么就可以推出
111??。R并R1R22○ R并R1R2R?R?R1?R1R?R1??1?R1?R2RR1?12?12122R?R?R?1?R1?R1R?R?R2?444????? RR??1?1?1?R1?R??RR?2?411R时有最大值，值为R。即ＡＢ平分圆2422由结果可以看出，当R1?环时有最大值。
例２ 如图，电池为理想电源，电压为Ｕ，滑动变阻器的阻值为Ｒ大于定值电阻R0。求滑动变阻器消耗的最大电功率是多少？
分析：当电阻Ｒ越大，电流越小，当Ｒ为无穷大时，即为开路，消耗的电功率为０；当电阻Ｒ越小时，电流变大，根据P?I2R。当Ｒ为０时，电功率为０。所以很难得出什么时候电功率有最大值
○ R0 R
这个结论，这时必须用二次函数来推导。设阻器的功率为Ｐ，则
?U?U2U2P????R?R??R??R2??R?2?R??0???0R?0R0??2?????2???R?R0??R???0??R0???R??????
U2?2?R0?R?R0???4R0?R?R0??由果可以看出，当
2R0?RR时，即Ｒ＝Ｒ０也就是滑动变阻器的电阻和定值R0U2电阻相等时，电功率有最大值为
4R0上面的结论可以当作公式应用，去解其它的题。
例如：将电阻R0与电阻R1串联接在电压不变的电源两端，R1的电功率为P1；将电阻R0与R2串联在同一电源两端，R2的功率为P2。下列说法正确的是（ ）
A．如果R1=R2，则一定有P1=P2 B．如果R1＞R2，则一定有P1＞P2 C．如果R1＞R2，则一定有P1＜P2 D．如果R1R2=R0，则一定有P1=P2
分析：可知A一定对的，选项D通过列式P1=P2即
?U??U?2????R?R 化简可得RR=R，可知选项Ｄ也是对的，也12012?R?R??R?R?1?2??0?0222比较简单。但是选项B和C用上面的结论，用特值法代入
很简单的就可以分析出来，如果没有上面的结论就不能容易地得出结论，很麻烦。甚至有的同学根本就无从下手,做不出来。
例３、凸透镜的焦距为f。成实像时，物和像的距离最小值为多少
分析：当u＞2f时，成缩小的实像，物体无穷远处向２倍焦距处移动，像从１倍焦距移动到２倍焦距。可以看到物距变化大，像距变化小；当f＜u＜2f时，成放大的实像，当物体从２倍焦距处移动到１倍焦距时，像从２倍焦距移动到无穷远处，物距变化小，像距变化大。由分析可知都在２倍焦距时，
距离最小，此题同样可以用二次函数推导。因为
111所以有??fuvu?v?uv……………⑴ f代入⑴式得
根据
fv111??解得u?v?ffuvv2u?v?v?f?11f?2vv??1?111f??v2?fv?4f?????221?4f2????
??1?11f??v?2f?1?4f可知，当v=2f时，有最小值为４f.。即u=v=2f,成等大实像时，物像离为４f。
例４，甲、乙两地距离为s，河流从甲地流向乙地，船在静水中的速度为v0，船从甲地开往乙地再返回甲地。水速为多大时所用时间最短？（v0＞v水）
分析：顺流时，速度越大，时间越短；逆流时，速度越大，时间越长，如果v水十分接近v0时，可以看出逆水时间相当长，要想时间短，流速应该最小，即v水＝０时，时间应该最短。此题可以证明
ss2svt???2v0?v水v0?v水v0?v水2
2s可以看出当v水＝０时，即水不流动时，时间最短t?
v0 初中阶段所涉及到的几个极值问题从二次函数这个角度去分析，都可以得到解决。