关于求解0/1背包问题的动态规划算法
摘要：本文通过研究动态规划原理，提出了根据该原理解决０／１背包问题的方法与算法实现，
并对算法的正确性作了验证．观察程序运行结果，发现基于动态规划的算法能够得到正确的决策方案且比穷举法有效．
关键字：动态规划；０／１背包；约束条件；序偶；决策序列；支配规则
1、引 言
科学研究与工程实践中，常常会遇到许多优化问题，而有这么一类问题，它们的活动过程可以分为若干个阶段，但整个过程受到某一条件的限制。这若干个阶段的不同决策的组合就构成一个完整的决策。0/1背包问题就是一个典型的在资源有限的条件下，追求总的收益最大的资源有效分配的优化问题。
对于0/1背包问题，我们可以这样描述：设有一确定容量为C的包及两个向量C’=（S1，S2，……，Sn）和P=（P1，P2，……，PN），再设X为一整数集合，即X=1，2，3，……，N，X为SI、PI的下标集，T为X的子集，那么问题就是找出满足约束条件∑Si〈=C，使∑PI获得最大的子集T。在实际运用中，S的元素可以是N个经营项目各自所消耗的资源，C可以是所能提供的资源总量，P的元素可是人们从各项项目中得到的利润。
0/1背包问题是工程问题的典型概括，怎么样高效求出最优决策，是人们关心的问题。
2、求解问题的动态规划原理与算法 2．1动态规划原理的描述
求解问题的动态规划有向前处理法向后处理法两种，这里使用向前处理法求解0/1背包问题。对于0/1背包问题，可以通过作出变量X1，X2，……，XN的一个决策序列来得到它的解。而对于变量X的决策就是决定它是取0值还是取1值。假定决策这些X的次序为Xn，XN-1，……，X0。在对X0做出决策之后，问题处于下列两种状态之一：包的剩余容量是M，没任何效益；剩余容量是M-w，效益值增长了P。显然，之后对Xn-1，Xn-2，……，X1的决策相对于决策X所产生的问题状态应该是最优的，否则Xn，……，X1就不可能是最优决策序列。如果设Fj（X）是KNAP（1，j，X）最优解的值，那么Fn（M）就可表示为
FN（M）=max(fn(M),fn-1(M-wn)+pn)} （1） 对于任意的fi(X),这里i>0，则有
fi(X)=max{fi-1(X),fi-1(X-wi)+pi} （2） 为了能由前向后推而最后求解出FN（M），需从F0（X）开始。对于所有的X>=0,有F0（X）=0，当X<0时，有F0（X）等于负无穷。根据（2），可求出0〈X〈W1和X〉=W1情况下F1（X）的值。接着由（2）不断求出F2，F3，……，FN在X相应取值范围内的值。
2．2 0/1背包问题算法的抽象描述
(1)初始化各个元素的重量W[i]、效益值P[i]、包的最大容量M； (2)初始化Ｓ0； (3)生成Si；
1
a．在中Ｓ找满足约束条件的第R对序偶； b．生成S1i ;
c．清除不满足条件的序偶；
d．将Sn-1中满足条件的序偶复制到Sn 中； （4）对Sn+1置初值；
（5）若不满足循环次数转（3）,否则转（６）； （6）用回溯法确定决策序列；终止程序。 2．3计算复杂性分析
假设Si的序偶是|Ｓi |。在i＞０的情况下，每个Ｓi由Ｓ1i-1和Ｓ1i归并而成，并且｜ii-1 ii-1
Ｓ1 |<=|Ｓ|,因此｜Ｓ |<=2|Ｓ|。在最坏情况下没有序偶被清除，所以 对|Ｓi|求和(i=0,1,2,．．．n-1)的结果是２n-1,也就是说ＤＫＮＡＰ的空间复杂度为
n
Ｏ（２）。
由Ｓi-1生成Ｓi需要|Ｓi-1||的时间，所以在计算S0，S1，S2，……，Sn-1时所消耗的总时间为（∑|Ｓi-1|），0〈＝i〈＝n－１。由于｜Ｓi｜〈＝２n，所以计算这些Ｓi总的时间为Ｏ（２n）。
该算法的时间复杂性为Ｏ（２n），似乎表明当Ｎ很大时它的有效性不会让人满意，但由于支配规则的引入，很好的清除了不满足约束的序偶，因而该算法在很多情况下都能在可接受的时间内求出决策序列。 ２．４基于动态规划的算法源程序
由于算法源程序有一定的篇幅，将其附后。 3、性能测试
３．１测试问题
为了验证算法的正确性与有效性，用两个数组Ｐ［Ｎ］和Ｗ［Ｎ］分别存储 始记录Ｃ’和P，记录为用穷举法已求出最优决策的实例。现分别取Ｎ＝3，4 ，6，10进行实验。
3．2试验结果与分析
为了便于说明问题，现将实验过程中的N取不同值的一组向量Ｃ’和P（也就 是重量与效益值）记录如下：
N=3：Ｃ’=（2，3，4）；P=（1，2，5）；M=6； N=4：Ｃ’=（2，4，6，7）；P=（6，10，12，13）；M=11； N=6：Ｃ’=（100，50，20，10，7，3）；P=（90，70，30，20，5，15）；M=165； N=10：Ｃ’=（2，4，5，7，10，14，19，20，25，30）； P=（1，3，4，5，10，15，20，25，36，28）；M=70； 运行程序，与上述实例对应的决策序列为（1 0 1）、（0 1 0 1）、（1 1 0 1 1）和（0 0 1 1 0 1 1 0 1 0），各决策序列与穷举法得到的结果一致，得到了最大的效益值，都为有限资源下的最优决策序列。
根据程序运行的中间结果，记录上述实例每次的Si的序偶个数，结果如下表：
Si的序偶个数表：
2
i-1
Si的个 数 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 N 3 1 2 4 —— —— —— —— —— —— —— 4 1 2 4 5 —— —— —— —— —— —— 6 1 2 4 6 11 21 —— —— —— —— 10 1 2 4 7 8 12 15 22 27 32 观察分析Si序偶的个数可以发现，运用动态规划思想的算法，随着N的增大，对于每一个Si并非都是|Si|= =2|Si-1|,尤其当i>4时效果更加明显，减少了搜索的范围，避免了穷举搜索，比穷举法有效．
４，结束语
通过将动态规划原理引入到解０／１背包问题中，由于支配规则的高效性，使该算法比运用穷举思想的算法有效．需要指出的是，由于它的时间复杂性为Ｏ（２n），０／１背包问题是一个ＮＰ－难问题。如果能够将它降为多项式复杂性，那么所有的ＮＰ－难问题就都可以在多项式时间内求解，这将会大大提高现行些类问题的算法的可靠性与效率。在这方面，有待深入研究，也是值得研究的问题。
参考文献：
[1] 数据结构：C语言版/严蔚敏等编著。 [2] Ｃ语言程序设计：潭浩强编著。
[3] 计算机算法基础:第二版/余祥宣等编著。
用动态规划解0/1背包问题的源程序代码：
#include
int p[n+1],w[n+1]; int M,m=1,i,j; for(i=1;i<=n;i++) { m=m*2;
printf(\ scanf(\ }
3
printf(\
printf(\ scanf(\ DKNAP(p,w,M,m); }
void DKNAP(int p[],int w[],int M,int m) { int p2[m],w2[m],pp,ww,px;
int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1]; F[0]=1;
p2[1]=w2[1]=0; l=h=1;
F[1]=next=2; for(i=1;i max=0； u=l; for(q=l;q<=h;q++) if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]) { u=q; max=w2[q]+w[i]; } for(j=l;j<=u;j++) { pp=p2[j]+p[i]; ww=w2[j]+w[i]; while(k<=h&&w2[k] if(k<=h&&w2[k]==ww) { if(pp<=p2[k]) pp=p2[k]; k++; } else if(pp>p2[next-1]) 4 { p2[next]=pp; w2[next]=ww;next++; } while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++; } while(k<=h) { p2[next]=p2[k]; w2[next]=w2[k]; next=next+1; k++; } l=h+1; h=next-1; F[i+1]=next; } for(i=1;i printf(\ for(i=n;i>0;i--) { next=F[i]; next--; pp=pk=p2[next]; ww=w2[next]; while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]) { next=next-1; pp=p2[next]; ww=w2[next]; } if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i]; if(px>pk&&ww+w[i]<=M) { s[i]=1; M=M-w[i];printf(\ else s[i]=0; } for(i=1;i<=n;i++) printf(\} 5 6