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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）
（科目代码302）
考生注意事项
1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写
报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。
3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
考生姓名： 考生编号：
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?(A)ab?1 2
(B)ab??1 2
(C)ab?0
(D)ab?2
（2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且f''(x)?0，则（ ）
(A)?f(x)dx?0?101?B???1f(x)dx?0?D???1f(x)dx??0f(x)dx011(C)?f(x)dx??f(x)dx?101
（3）设数列?xn?收敛，则（ ）
(A)当limsinxn?0时，limxn?0 (B)当lim(xn?n??n??n??xn)?0时，limxn?0
n??n??(C)当lim(xn?xn2)?0时，limxn?0 (D)当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??n??n??（4）微分方程的特解可设为
（A）Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （B）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （C）Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) （D）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0，则 ?x?y（A）f(0,0)?f(1,1) （B）f(0,0)?f(1,1) （C）f(0,1)?f(1,0) （D）f(0,1)?f(1,0)
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ） （A）t0?10
（B）15?t0?20
（C）t0?25
（D）t0?25
v(m/s)1020051015202530t(s)
?（ ）
?0????11（7）设A为三阶矩阵，P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵，使得PAP??则A(?1,?2,?3)?，?2???（A）?1??2 （B）?2?2?3 （C）?2??3 （D）?1?2?2
?200??210??100???????（8）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??（A）A与C相似,B与C相似
（B）A与C相似,B与C不相似 （D）A与C不相似,B与C不相似
（C）A与C不相似,B与C相似
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 曲线y?x?1?arcsin??2??的斜渐近线方程为_______ x??x?t?etd2y (10) 设函数y?y(x)由参数方程?确定，则2?______
dxt?0?y?sint (11)
???0ln(1?x)dx?_______ 2(1?x)yy(12) 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)?yedx?x(1?y)edy，f(0,0)?0，则
f(x,y)?______
（13）
?10dy?tanxdx?______ yx1?41?2??1?????（14）设矩阵A?12a的一个特征向量为?1?，则a?_____
???2???31?1????
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限lim?x?0?x0x?tetdtx3 dy（16）（本题满分10分）设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y，2
dxx?0
x?0
（17）（本题满分10分）求lim
（18）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值
（19）（本题满分10分）设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0k?k?ln?1?? ?2n???n?k?1nn33f(x)?0，证明： x(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
（20）（本题满分11分）已知平面区域D???x,y?|x2?y2?2y?,计算二重积分???x?1?dxdy。
D2（21）（本题满分11分）设y(x)是区间?0,?内的可导函数，且y(1)?0，点P是曲线L: y?y(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,Yp，法线与x轴相交于点Xp,0，若Xp?Yp，求L上点的坐标?x,y?满足的方程。
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵A???1,??3?2??????2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2。
(?)证明：r(A)?2
(?)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解。
222（23）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换2X?QY下的标准型?1y12??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q.
参考答案
1x111?cosx12x?0??b?ab?.选A. 1.【答案】A【解析】lim在处连续?lim?,?f(x)?x?0?x?02a2axax2a2.【答案】B【解析】f(x)为偶函数时满足题设条件，此时取f(x)?2x?1满足条件，则
2?0?1f(x)dx??f(x)dx，排除C,D.
01?1?1f(x)dx??1?1?2x2?1?dx??2?0，选B. 3n??0,lim3.【答案】D【解析】特值法：（A）取xn??，有limsinxn?n??xn??，A错；取xn??1，排除B,C.
所以选D.
4.【答案】A【解析】特征方程为：
?2?4??8?0??1,2?2?2i
**?f(x)?e2x(1?cos2x)?e2x?e2xcos2x?y1?Ae2x,y2?xe2x(Bcos2x?Csin2x), **故特解为：y*?y1?y2?Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x),选C.
5.【答案】C【解析】
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,?f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递?x?y减函数，所以有f(0,1)?f(1,1)?f(1,0)，故答案选D. 6.【答案】B【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?t00v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
0t0?t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
7.【答案】 B【解析】
?0??0??0???????P?1AP??1?AP?P1?A(?,?,?)?(?,?,?)1123123???????2?2?3,
???2?2?2???????因此B正确。 8.【答案】B【解析】由
?E?A?0可知A的特征值为2,2,1,因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，
?100???即A~?020?由?E?B?0可知B特征值为2,2,1.因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，
?002???显然C可相似对角化，∴A~C，但B不相似于C.
y22?lim(1?arcsin)?1,lim?y?x??limxarcsin?2,x??xx??x??x??xx9.【答案】y?x?2【解析】
?y?x?2?lim