【精品】2019年中考数学专题★正方形含45°半角模型11种结论
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上一点，且∠EAF = 45°，AE、AF分别交对角线BD于点M、N．
（1）求证：EF = BE + DF；
（2）求证：∠AEB =∠AEF =∠ANM，∠AFD =∠AFE =∠AMN； （3）求证：MN2 = BM2 + DN2；
（4）求证：2AM2 = BM2 +DM2，2AN2 = DN2 + BN2；
（5）①连NE，求证：AN = NE，且AN⊥NE；②连MF，求证：AM = MF，且AM⊥MF； （6）求证：2BN = BA + BE，2DM = DA + DF； （7）求证：CE =2DN，CF =2BM； （8）求证：EF =2MN；
（9）①过点E作EG⊥BC交BD于点G，求证：N是DG的中点；
②过点F作FH⊥CD交BD于点H，求证：M是BH的中点；
MANFD1BD； 21②过点F作FJ⊥BD于点J，求证：MJ =BD；
21（11）求证：S△AMN =S△AEF（即S△AMN = S四边形MEFN）
2（10）①过点E作EI⊥BD于点I，求证：NI =证明：（1）延长EB至H，使BH=DF，连接AH。 易证△ABH≌△ADF(SAS) ∴AH=AF,∠1=∠2;
∵∠1+∠3+∠EAF=90° ∴∠2+∠3+∠EAF=90° 即∠2＋∠3＝∠EAF=45° 易证△HAE≌FAE(SAS) ∴HE=EF
∴EF=HB＋BE＝BE＋DF
（2）由（1）中△HAE≌FAE(SAS)可知 ∠AEB=∠AEF
由“8字模型”可知∠AEB=∠ANM ∴∠AEB=∠AEF=∠ANM;
同理可证：∠AFD =∠AFE =∠AMN
( 3 )过A点作GA⊥AN,使GA=NA,连接GB,GM； 易证：△AGB≌△AND(SAS) ∴∠ABG=∠ADN=45°,BG=DN; 易证：△AGM≌ANM(SAS) ∴GM=MN;
易得△GBM为Rt△，由勾股定理的; GM2=BM2+GB2, ∴MN2=BM2+DN2
BEC
（4）在图（3）上连接GN，
由（3）知△AGB≌△AND(SAS)得 GB=ND；
由（3）知△AGN是等腰Rt△；由勾股定理得 ∴AG2+AN2=2AN2=GN2
易得△GBN为Rt△,由勾股定理得 GB2+BN2=GN2; ∴2AN2=DN2+BN2
同理可证：2AM2 = BM2 +DM2。
( 5 )过A点作QA⊥AN，取AQ=AN,连接QN交AE于点P，连接,BP，QB; 易证△AQB≌AND（SAS) ∴∠4=∠5=45°，∠1=∠2 又∵∠1+∠3＝∠PAN=45°,
在等腰Rt△QAN中，由三线合一可知 AP⊥QN,P为QN的中点； 即AP=QP=PN
在Rt△QBN中，P为斜边上中点，则 BP=QP=PN, ∴BP=AP ∠3=∠6，
又∵∠3+∠AEB=90°,∠6+∠PBE=90° ∴∠AEB=∠PBE ∴BP=PE
∴P为AE的中点
∴△ANE为等腰△（三线合一） ∵∠AEF=45°
∴△ANE为等腰Rt△ ∴AN=NE且AN⊥NE
同理可证AM = MF，且AM⊥MF；
( 6 )延长BA至K，使AK=BE，连接KN,EN； 由（5）中结论易证△KAN≌△BEN(SAS) ∴KN=NB
又∵∠ABN=45°∴△KBN为等腰Rt△， ∴KB=2BN, ∵KB=AB+AK=AB+BE ∴2BN=AB+BE
同理可证：2DM = DA + DF