世纪金榜 圆你梦想
考点42曲线与方程、圆锥曲线的综合应用
一、选择题
1.（2011·山东高考理科·Ｔ8）已知双曲线
xa22?yb22?1（a>0,b>0）的两条渐近
线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （A）
x25?y24?1 （B）
x24?y25?1 （C）
x23?y26?1 （D）
x26?y23?1
【思路点拨】先求出圆C的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系，再由双曲线的右焦点为圆C的圆心知c=2，即可求出结果.
【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为r?3ba?b22所以4a2=5b2又因为双曲线的右焦点
为圆C的圆心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.
2．（2011·福建卷理科·Ｔ7）设圆锥曲线?的两个焦点分别为F1，F2，若曲线?上存在点P满足PF1（A）.
12或32:F1F2:PF2=4:3:2，则曲线?的离心率等于( )
23 （B）.或2 （C）.
:F1F2:PF212或2 （D）.
23或32
【思路点拨】根据PF1=4:3:2，设出，然后按曲｜PF｜、｜F1F｜、｜PF｜122线?为椭圆或者双曲线，在?PF1F2中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】 选A. ?其中|F1F2|?2c?3k，?c?3?e?
PF1:F1F2:PF2?可设｜PF｜＝4k,|F1F2|?3k,|PF2|?2k, =4:3:2，13k2.若圆锥曲线?为椭圆，则|PF1|?|PF2|?2a?6k，?a?3k，
1?2?.若圆锥曲线?为双曲线，则|PF1|?|PF2|?2a?2k, a3k21
ck
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3?a?k,?e??2akck?32,?e的取值为12或32.
3. （2011·福建卷文科·Ｔ11）设圆锥曲线?的两个焦点分别为F1， F2，若曲线上?存在点P满足PF1：F1F2：PF2= 4:3:2，则曲线的?离心率等于（ ） （A）. （C）.
1212或32 （B）.
23或223
32或2 （D）.
:F1F2:PF2或
【思路点拨】根据PF1=4:3:2，设出，然后按曲｜PF｜、｜F1F｜、｜PF｜122线为?椭圆或者双曲线，在?PF1F2中分别利用定义求离心率. 【精讲精析】选A. ?其中|F1F2|?2c?3k，?c?3cPF1:F1F2:PF23k2=4:3:2，设｜PF｜＝4k,|FF112|?3k,|PF2|?2k,
.若圆锥曲线?为椭圆，则|PF1|?|PF2|?2a?6k，?a?3k，
k12?e???,若圆锥曲线?为双曲线，则|PF1|?|PF2|?2a?2k,?a?k,
a3k23?e??2akck?32,?e的取值为12或32.
二、填空题
4.（2011·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线
xa22?yb22?1(a＞0，b＞0)和椭圆
x216?y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程. 【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-为双曲线的离心率为
ca?27472
，0）、（
7，0），即c=
x72，又因
?y2，所以a=2,故b=3，所以双曲线的方程为
43?1
2
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5.（2011·北京高考理科·T14）曲线C是平面内与两个定点F1(?1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则?F1PF2的面积不大于
12a2.
其中所有正确的结论的序号是 .
【思路点拨】写出曲线C的方程，再逐个验证三个结论.
【精讲精析】②③.设P(x,y)为曲线C上任意一点，则由|PF1|?|PF2|?a2得， C:(x?1)?y?(x?1)?y2222?a2把（0，0）代入方程可得1?a2，与a?1矛盾，故①
不正确；
当M(x,y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点M线C关于原点对称，故②正确；S?FPF12'(?x,?y)，也满足方程，故曲
12asin?F1PF?2?12|PF1||PF2|sin?F1PF2?12a2，
故③正确.
6．（2011·安徽高考理科·Ｔ21）若?线y?x上运动，点Q
2?0，点A的坐标为（1,1），点B在抛物
????????满足BQ??QA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点
M，点P满足QM??MP,求点P的轨迹方程.
【思路点拨】设出Ｐ点坐标，通过Ｑ，Ｂ等中间量建立方程，消去中间量，的点Ｐ的轨迹方程．
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【精讲精析】解：由QM??MP知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故
y0??(y?x).即
2可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2? y02?(1??)x??y. ①
????????再设B(x1,y1),由BQ??QA，即(x?x1,y0?y1)??(1?x,1?y0),解得
?x1?(1??)x??. ② ?y1?(1??)y0??.将①式代入②式，消去y0，得
x1?(1??)x??.? ③ ?22y?(1??)x??(1??)y??.?1又点B在抛物线y?x2上，所以y1?(1??)x??(1??)y???((1??)x??).2222222x12，再将③式代入y1?2x12，得
(1??)x??(1??)y???(1??)x?2?(1??)x??. 2?(1??)x??(1??)y??(1??)?0.因为??0，两边同时除以?(1??),得
2x?y?1?0.
故所求点P的轨迹方程为y?2x?1.
7. （2011·新课标全国高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M迹为曲线C. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值. 【思路点拨】第（1）问，求M点的轨迹，可设M点坐标为(x,y)，然后利用条
????????????????????????件MB//OA得到点B的坐标，最后将条件MA?AB?MB?BA转化为坐标关系，得到x,yuuuruuruuuruuuruuuruur点满足MB//OA， MA?AB?MB?BA，M点的轨
满足的关系式，化简整理即得C的方程；
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第（2）问，设出点P的坐标，利用导数求出切线l的斜率，表示出l的方程，再利用点到直线的距离公式求得O点到l距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可.
【精讲精析】(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuur所以MA=（-x,-1-y）, MBruuuruuu再由题意可知（MA+MBuuur=(0,-3-y), AB=(x,-2).
uuur）? AB=0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x2-2.
41(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=x 2-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0
422111因此直线l的方程为y?y0则O点到l的距离d1d?22?122x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x0?02.
?|2y0?x0|x0?42.又y0?14x0?2，所以
2x0?4x?420?12(x0?4?24x?420)?2,
当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. 8.（2011·山东高考理科·Ｔ22）（本小题满分14分） 已知直线l与椭圆C: 面积S?OPQ62x23?y22?1交于P（x1,y1），Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的
?,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值 （Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OM?PQ的最大值；
?S?ODG?S?OEG?62?若存在，判断△
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S?ODEDEG的形状；若不存在，请说明理由.
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