第九章 图与网络
习题九
9.1 十名学生参加六门课程的考试。由于选修内容不同，考试门数也不一样。下表给出了每个学生应参加考试的课程（打⊙的）：
学生 考试课程 A B C D E F
1 ⊙ ⊙ ⊙ 2 ⊙ ⊙
3 ⊙ ⊙ 4 ⊙ ⊙ ⊙ 5 ⊙ ⊙ ⊙ 6 ⊙ ⊙ 7 ⊙ ⊙ ⊙ 8 ⊙ ⊙
9 ⊙ ⊙ ⊙ 10 ⊙ ⊙ ⊙
规定考试在三天内结束，每天上下午各安排一门。学生希望每人每天最多考一门，又课程A必须安排在第一天上午考，课程F安排在最后一门，课程B只能安排在下午考，试列出一张满足各方面要求的考试日程表。
9.2 求下图的最小生成树和最大生成树：
V1 6 V2 6 6 2 2
V6 7 V7 3 V3
8 3 4 3
V5 1 V4
9.3 下图表示某生产队的水稻田，用堤埂分割为很多小块。为了用水灌溉，需要挖开一些堤埂。问最少挖开多少堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田。
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第九章 图与网络
9.4. 请用标号法求下图所示的最短路问题，弧上数字为距离：
2 1 4 1 7 1 2 3 6 4 6 3 5 3 1 5
9.5 用Dijkstra标号法求下图中始点到各顶点的最短路，弧上数字为距离：
v3 3 v5
1 5 4 v1 2 4
v2 2 v4
9.6 最短路问题：某公司使用一种设备，此设备在一定年限内随着时间的推移逐渐损坏。每年购买价格和不同年限的维修使用费如下表所示。假定公司在第一年开始时必须购买一台此设备，请建立此问题的网络图，确定设备更新方案，使维修费和新设备购置费的总数最小。说明解决思路和方法，不必求解。
年份 1 2 3 4 5 价格 20 21 23 24 26
使用年限 0－1 1－2 2－3 3－4 4－5 费用 8 13 19 23 30
9.7 试将下述非线性整数规划问题归结为求最长路的问题。要求先根据这个问题画出网络图，扼要说明图中各节点、连线及连线上标注的权数的含义，再用标号法求数值解。
max z ＝ （x1＋1）2＋5x2x3＋（3x4－4）2
x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤3
xj≥0，且为整数（j＝1,2,3,4）
9.8 用标号法求下图所示的最大流问题，弧上数字为容量和初始可行流量：
v1 （7，4） v3
（8，8） （3，1） （8，6）
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第九章 图与网络
vs （3，3） （3，0） vt
（9，4） （2，2） （9，6）
v2 （5，5） v4
9.9 已知有6个村子，相互间道路的距离如下图所示，拟合建一所小学。已知A处有小学生50人，B处40人，C处60人，D处20人，E处70人，F处90人，问小学应建在哪一个村子，使学生上学最方便（走的总路程最短）。
B· 6 ·D 2 8 6 A· 4 1 ·F 7 1 3
C · 3 ·E
9.10 如下图，从三口油井1、2、3经管道将油输至脱水处理厂7和8，中间经4、5、6三个泵站。已知图中弧旁数字为各管道通过的最大能力（吨/小时），求从油井每小时能输送到处理厂的最大流量。
1 7
20 4 10 10 2 50 20 10 6 50 30 20 20 3 15 5 30 8
9.11 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到招聘，招聘后每人从事哪一方面翻译任务？
9.12. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网络图并求数值解。
产地 销地 1 2 3 产 量
A 20 24 5 8 B 30 22 20 7 销 量 4 5 6
复习思考题
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第九章 图与网络
9.13 通常用G＝(V，E)来表示一个图，试述符号V，E及这个表达式的涵义。 9.14 解释下列各组名词，并说明相互间的联系和区别：(a)点，相邻，关联边；(b)环，多重边，简单图；(c)链；(d)圈；(e)回路；(f)节点的度，悬挂点，悬挂边，孤立点；(g)连通图，连通分图，支撑子图；(h)有向图，无向图，赋权图。
9.15 图论中的图同一般工程图、几何图的主要区别是什么，试举例说明。 9.16 试述树、图的支撑树及最小支撑树的概念定义，以及它们在实际问题中的应用。
9.17 阐明Dijkstra算法的基本思想和基本步骤，为什么用这种算法能在图中找出从一点至任一点的最短路。
9.18 最大流问题是一个特殊的线性规划问题，试具体说明这个问题中的变量、目标函数和约束条件各是什么?
9.19 什么是增广链，为什么只有不存在关于可行流f*的增广链时，f*即为最大流。
9.20 试述什么是截集、截量以及最大流最小截量定理，为什么用Ford—Fulkerson标号法在求得最大流的结果，同时得到一个最小截集。
9.21简述最小费用最大流的概念以及求取最小费用最大流的基本思想和方法。
9.22 试用图的语言来表达中国邮递员问题，并说明该问题同一笔画之间的联系和区别。
9.23 判断下列说法是否正确:
(1)图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与点的相对位置、点与点连线的长短曲直等都要严格注意； (2)在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图；
(3)如图中某点vi有若干个相邻点，与其距离最远的相邻点为vj,则边(i,j)，(i,j)必不包含在最小支撑树内；
(4)求图的最小支撑树以及求图中一点至另一点的最短路问题，都可以归结为求解整数规划问题；
(5)求网络最大流的问题可归结为求解一个线性规划模型。
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