中国地质大学（武汉）远程与继续教育学院
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高等数学（2） 课程作业3（共 4 次作业） 学习层次：专科 涉及章节：第9章 ——第10章
一、计算题
1. 利用二积分的性质估计下列积分的值：
a) I???xy(x?y)d? , ???(x,y)0?x?1,0?y?1.
Db) I???sin2xsin2yd?，其中D是矩形闭区域0?x??,0?y??
D2. 计算??xexydxdy的值，其中D为0?x?1,?1?y?0.
D3. 求??Ddxdy(x?y)2的值，其中d为1?x?2,3?y?4.
4. 求积分??(1?x)yd?的值，其中D是顶点为（0,0），（1,0），）,(1,2)，（0,1）的直边梯形.
D5. 选用极坐标计算下列积分：
（1）．??ln(1?x2?y2)dxdy，其中D为x2?y2?1所围成的第一象限内的区域。
D（2）．??arctgdxdy，其中D为x2?y2?4,x2?y2?1及直线y?x,y?0所围的第一
Dyx象限内的区域。
6. 选用适当的坐标系计算??(x2?y2)d?，其中D是由x??1?y2,y??1,y?1及x??2所
D围成的区域。
7. 计算I????(x2?y2?z2)dxdydz,其中?为球体x2?y2?z2?z在第一卦限中的部分.
?
二、判别题
判别下列级数的敛散性: 1. 2.
1111???????
n3333311111111??2??3???+n??? 21022023010n23.
?nsinn
n?1?24.
n! ?n10n?1??5.
?n?1n?1 n
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?3n?1?6. ???
4n?1??n?1???n7.
1?3?5??2n?1? ???2?5?8?3n?1n?1?三、解答题
（1）确定下列幂级数的收敛区间:
1.
?nn?1??3xn 1n2.
?n?1??x?2?n
（2）利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数:
1.
?nxn?1n?1 (x?1)
22n?12n?11x (x?) 2n?122.
???1?n?1?n?1中国地质大学（武汉）远程与继续教育学院
参考答案 一、计算题
1. 利用二积分的性质估计下列积分的值：
a) ：设f(x,y)?xy(x?y)且0?x?1,0?y?1；
?fmin(x,y)?f(0,0)?0，fmax(x,y)?f(1,1)?2；
故由积分估值公式得0?I?2
b) ：设f(x,y)?si2x,?)?1，nsi2yn且0?x??,0?y??；?fmax(x,y)?f(?22fmin(x,y)?f(0,0)?f(0,?)?f(?,0)?f(?,?)?0；
故由积分估值公式得0?I??2
?x)dx?[x?e?x]12. 原式=?dx?xexydy??[exy]0?1dx??(1?e0?1/e
0?10010113. 原式??dx?124dy(x?y)23??212111[]dx??(?)dx
1x?y3x?4x?3442?[lnx?4?lnx?3]1?ln
3y24. 原式??dx?(1?x)ydy??(1?x)[]dx?000201x?11x?1123(1?x)dx ?01115 ?[(1?x)4]10?22
5. 选用极坐标计算下列积分：
1?r2)rdr，用u?1?r2换元积分得， （1）原式??d??ln(00?/21原式?12??/20d?lnudu?1?2?42[ulnu?u]1??4(2ln2?2)
（2）原式??d???rrdr?[01?/42?22]0?/4r223?2 ?[]1?264013?/210?2?16. 原式???(x2?y2)d??D1203?/222322??(x?y)d???dx?(x?y)dy??d??rdr
D2?/2r41??(2x?2/3)dx??[]0d??2?/24 23?20??[(x?x)]0???2?3434
7. 解：作球坐标代换 x?rcos?sin?,y?rsin?sin?,z?rcos?，则有，
??cos?I???20d???20sin?d??0rdr?4?2??201cos2sin?d?5?/20??10?20cos5?dcos????cos6?60??60
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二、判别题
判别下列级数的敛散性: 1. 级数发散 2. 级数发散 3. 故级数发散 4. 故发散. 5. 故级数发散. 6. 级数收敛. 7. 级数收敛.
三、解答题
（1）确定下列幂级数的收敛区间:
3?n?1?1. 解:???limn??n3?n?1??lim???1 n???n?3?R?1??1,且当x?1或?1时级数发散，
?收敛区间(-1,1)
2. 解:???limn??nn?1?limn??n?1 n?1?R?1??1, 所以当-1 当x?1时, ?n?1?1n??1?n收敛; 当x?3时, ?n?1?1n发散, 故所给幂级数的收敛区间为?1,3? （2）利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数: 1. 解:记S?x???nxn?1?n?1 则?S?x?dx??xn?0n?1x?x (x?1) 1?x?1?x? (x?1) ?S?x?????21?x?1?x???2. 解:记S?x?????1?n?1??n?11?2x?2n?1, 2n?1n?1则S??x??2???1?n?1?2x?2n?2?2 (2x?1) 1?4x2?S?x???x0x121 () x?dx?d2x?arctg2x?01?4x221?4x2