第二章 圆锥曲线
§1截面欣赏
§2
直线与球、平面与球的位置关系
1.了解截面的概念． 课标解读 2．理解直线与球的位置关系． 3．理解平面截球及球面的意义及性质.
1．直线与球的位置关系 (1)直线与球的位置关系
已知球O的半径为r，球心到直线l的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交 (2)球的切线性质 公共点 没有公共点 只有一个公共点 有两个公共点 d与r的关系 d＞r d＝r d＜r
从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆． 2．平面与球的位置关系 (1)平面与球的位置关系
设球的半径为r，球心到平面的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交 (2)球的截面性质
公共点 没有公共点 只有一个公共点 有无数个公共点 d与r的关系 d＞r d＝r d＜r
图2－1－1
一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面． 如图2－1－1所示，平面α截球得一截面圆O，OO1与平面α垂直，P为截面圆上一点，在Rt△OO1P中有OP＝OO1＋O1P，这个等式给出了球半径、截面圆半径与球心到截面圆的距离三者之间的关系．
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1．如何求球的两个平行截面间的距离？ 【提示】 (1)作出过球心和截面圆圆心的截面．
(2)分两种情况：一是两截面在球心同侧；二是两截面在球心异侧．
(3)利用球的半径R，截面圆半径r及球心到截面圆的距离d的关系r＋d＝R来求解． 2．如何判断点、直线、平面与球的位置关系？
【提示】 点、直线、平面与球的位置关系与它们到球心的距离和球的半径的大小有着密切的关系．因而要判断点、直线和平面与球的位置关系，关键是寻找球心到点、直线、平
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面的距离d与球的半径R的大小关系，特别地要证明点在球面上、直线或平面与球相切，只需证明d＝R.
与球有关的截面问题 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这
两个截面间的距离．
【思路探究】
【自主解答】 设球心为O，两截面的圆心分别为C、D，由已知2π·CE＝12π，得CE＝6，
2π·DF＝16π，得DF＝8， 当两截面在球心同侧时，如图(1)．
CD＝OC－OD＝OE2－EC2－OF2－DF2＝102－62－102－82＝2，
当两截面在球心两侧时，如图(2)所示．
CD＝OC＋OD＝OE2－EC2＋OF2－DF2＝14.
故两个截面间的距离为2或14.
1．本题中两个平行截面与球心的位置关系不确定，故应分类求解．
2．解决有关球的问题，通常是通过研究球的截面来实现的，实质上是利用球的截面，化空间问题为平面问题．
图2－1－2
已知球O的半径为3，它有一内接正方体ABCD—A1B1C1D1，如图2－1－2所示，则球心到平面ABCD的距离为________．
【解析】 平面ACC1A1截球所得截面图形如图所示．
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∵AC1＝3AA1，∴AA1＝23.OO1＝AA1＝3.
2∴球心到平面ABCD的距离为3. 【答案】
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直线、平面与球的位置关系 一个球放在水平地面上，球在阳光下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处，同一时刻，一根高1米的垂直立于地面的标杆的影子长是2米，求球的半径．
【思路探究】 作出球的截面，构造三角形，利用切线长定理及三角形相似求解．
【自主解答】 如图所示，⊙O为球的轴截面图，AB与⊙O切于A，AB＝10米，它是AC的影长，则AC＝5米，BC切⊙O于D，
由切线长定理知BD＝10米，
CB＝AC2＋AB2＝55，
∴CD＝CB－BD＝55－10，
∵∠C＝∠C，∠ODC＝∠CAB＝90°， ∴△OCD∽△BCA，∴＝， ∴OD＝
CDACODAB5－5
CD·AB＝AC＝105－20(米)，
故球的半径为105－20米．
1．解答本题时首先应明确地面与球相切，球的投影最远点是由光线与球的切点决定的，然后作出截面，构造三角形求解．
2．利用球的轴截面可把球的问题转化为圆的问题求解．
已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积．
【解】 如图所示，设球心为O，球半径为R，M是AB的中点． 作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R， 则O1∈CM.
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则2＋x＝O1A＝O1C＝CM－O1M＝6－2－x，即2＋x＝42－x，
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