华南师范大学?数学科学学院
数学建模
第四次作业（周一班）
李世伟 20122201046
一、某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请研究这个问题，并向学院领导写一份报告。
·解答
设第k年取出奖学金，继续存在银行的钱为Xk，银行整存整取的利率为r，奖学金为d万元，则可得：
Xk?1?(1?r)Xk?d
解得
ddXk?(1?r)k(X0?)?，其中X0?20万元
rrddd当X0??0时，数列为递增数列；当X0??0时，数列为递减数列；当X0??0rrrd时，数列不增不减，所以平衡点为X?。
r一般而言，可令r?3%，所以20万元整存整取一年定期后的利息为20?3%?0.6万
元。
故可以0.6万元为分界点分3种情况考虑，matlab程序如下： n=20;r=[0.03,0.03,0.03];x=[20,20,20];d=[0.5,0.6,0.7]; for k=1:n
x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-d; end
disp(' 不同奖学存款余额变化')
disp(' 年 0.5万元 0.6万元 0.7万元') disp([(0:n)',x])
plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv') axis([-1,n+1,15,25])
legend('d=0.5','d=0.6','d=0.7') title('不同奖学存款余额变化') xlabel('年份'),ylabel('余额/万元') 程序运行结果如下： 不同奖学存款余额变化
年 0.5万元 0.6万元 0.7万元
0 20.0000 20.0000 20.0000 1.0000 20.1000 20.0000 19.9000 2.0000 20.2030 20.0000 19.7970
3.0000 20.3091 20.0000 19.6909 4.0000 20.4184 20.0000 19.5816 5.0000 20.5309 20.0000 19.4691 6.0000 20.6468 20.0000 19.3532 7.0000 20.7662 20.0000 19.2338 8.0000 20.8892 20.0000 19.1108 9.0000 21.0159 20.0000 18.9841 10.0000 21.1464 20.0000 18.8536 11.0000 21.2808 20.0000 18.7192 12.0000 21.4192 20.0000 18.5808 13.0000 21.5618 20.0000 18.4382 14.0000 21.7086 20.0000 18.2914 15.0000 21.8599 20.0000 18.1401 16.0000 22.0157 20.0000 17.9843 17.0000 22.1762 20.0000 17.8238 18.0000 22.3414 20.0000 17.6586 19.0000 22.5117 20.0000 17.4883 20.0000 22.6870 20.0000 17.3130
于是得到如下结论： 在r?3%时
（1）奖学金金额低于0.6万元时，存款余额将持续增加； （2）奖学金金额等于0.6万元时，存款余额保持不变。 （3）奖学金金额高于0.6万元时，存款余额将逐渐减少。 因此，学校领导应该控制奖学金不高于0.6万元。
二、有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取的方式存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金。请你计算老人多少岁时将把养老金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
·解答
令第k个月末，老人的养老金余额为Xk万元，月利率为r，则
Xk?1?(1?r)Xk?0.1 解得
0.10.1)?，其中X0?10万元 rr0.10.1?0时，数列为递增数列；当X0??0时，数列为递减数列；当当X0?rr0.10.1X0??0时，数列不增不减，所以平衡点为X?。
rr编程计算老人养老金何时用完，matlab程序如下： x=[];x0=10;r=0.003; x(1)=(1+r).*x0;k=1; while x(k)>0
x(k+1)=(1+r)*x(k)-0.1; k=k+1; end k
运行结果为 k = 121
故养老金可以用121个月。
Xk?(1?r)k(X0?如果想用到80岁，即X(240)?0，matlab程序如下： x=[];x(241)=0; for i=241:-1:2
x(i-1)=x(i)+0.1/(1+0.003)^(242-i); end x0=x(1) 运行结果为 x0 =
17.0908
即老人需要存入17.0908万元。