其中
为函数的周期，
为傅里叶展开系数，它们等于
对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中 和
是实频率分量的振幅。 离散时间傅里叶变换
主条目：离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform, DTFT）针对的是定义域为Z的数列。设
为某一数列，则其DTFT被定义为
相应的逆变换为
DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列
的离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）为
其逆变换为 直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为 ，而快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）可以将复杂度改进为 。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。 在阿贝尔群上的统一描述 以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。 傅里叶变换家族 下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。 变换 连续傅里叶变换 傅里叶级数 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换 时间域 连续， 非周期性 连续， 周期性 离散， 非周期性 离散， 周期性 频率域 连续， 非周期性 离散， 非周期性 连续， 周期性 离散， 周期性