三角形的五心向量结论证明
1. O是?PP1?OP2?OP3?0(其中a,b,c是?PP12P3的重心?OP12P3三边)
OP1 P2
P
P3
证明：充分性: OP1?OP2?OP3?0?O是?PP12P3的重心
若OP1，OP2为邻边作平行四边形1?OP2?OP3?0，则OP1?OP2??OP3，以OP'??OPP13'P2，设OP3，则P3为PP1?OP2?OP3，得3与PP12交于点P12的中点，有OP'PO,P2O亦为OP3'??OP3，即O,P3P为?PP3,P3,P四点共线，故P12P3的中线，同理，1O为的重心。 ?PP12P3的中线，所以，
2.在
?ABC中，给
1AD?AB?AC,2??等于已知AD是
?ABC中
BC边的中线;
* △ABC中AB?AC一定过BC的中点，通过△ABC的重心
1?AP?(AB?AC),??3?P为ABC的重心 ??BP?1(BA?BC)，?3?*PG?1(PA?PB?PC)?G为△ABC的重心(P是平面上任意点).
3证明 PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC)
∵G是△ABC的重心
∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC 由此可得PG?(PA?PB?PC).(反之亦然(证略))
13*若O是?ABC的重心，则
S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3
2. ???APBC?0??BPAC?0?P为ABC的垂心
* 点O是?PP1?OP2?OP2?OP3?OP3?OP1 12P3的垂心?OP证明：O是?PP3?PP12, 12P3的垂心?OPOP3?PP12?0?OP3?(OP2?OP1)?0?OP3?OP2?OP3?OP1
同理OP1?P2P3?OP3?OP1?OP1?OP2 故当且仅当OP1?OP2?OP2?OP3?OP3?OP1.
* O是△ABC所在平面内一点OA?BC?OC?BA?OB?AC则O是△ABC的垂心 证明：由
。同理可证
由以上结论知O为△ABC的垂心。
，得
。容易得到
?2?2?2?2?2?2
，所以
* 设???0,???，则向量?(的垂心
ABABcosB?ACACcosC)必垂直于边BC，该向量必通过△ABC
???????ABAC?,???0,??? AP?????????ABcosBACcosC???ABACBC?ABBC?AC ?(BC?)?? |AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosC
|BC|?|AB|cos(??B)?|BC|?|AC|cosC??|BC|?|BC|?0? |AB|cosB|AC|cosC
ABAC ?(BC?)|AB|cosB|AC|cosC
* 若H是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则
S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC HC=0 HA+tanB·HB+tanC·故tanA·OP?OP2?OP3． 3.点O是?PP12P3的外心?证明：O是△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|(或OA2=OB2=OC2)(点O到三边距离相等)
?(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0(O为三边垂直平分线的交点)
*若点O为△ABC所在的平面内一点，满足
，则点O为△ABC的外心。
A
C
O D
B
证明：因为，所以
同理得
，所以
。故点O为△ABC的外心。
由题意得
，得
*D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点,且
??DPPB?DPPC?P为ABC的外心 ???EPPC?EPPA若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C 故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=0 ? 证明：设O点在?ABC内部，由向量基本定理，有
mOA?nOB?rOC?0?m,n,r?R??，则S?BOC:S?COA:SAOB?m:n:r设：mOA?OD,nOB?OE,rOC?OF，则点O为△DEF的重心， 又
S?BOC?111S?EOF，S?AOC?S?DOF，S?AOB?S?DOE，∴nrmrmnS?BOC:S?COA:SAOB?m:n:r
? 若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C
OC=0 OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·故sin∠2A·a,b,c是?PP4.O是?PP1?b?OP2?c?OP3?0。(其中12P3的内心?a?OP12P3三边)
O是?PP证明：充分性： a?OP1?b?OP2?c?OP3?0?12P3的内心
a?OP1?b?OP2?c?OP3?a?OP1?b?(OP1?PP12)?c?(OP1?PP13)(a?b?c)?OP1?b?PP12?c?PP13?0
?所以PO1=
PPPPbcPPPP(12?13)，而12，13分别是PP12，PP13方向上的单位向量，
a?b?ccbcb所以向量
PPPP12平分?P2P?13平分?P2P1P3，即PO1P3，同理P1P2P3，得到点12O平分?PcbO是?PP12P3的内心。
*O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. 内心（角平分线交点）
ABACABACAC方向上的单位向量，?平分?BAC, 、分别为AB、?cbcbABAC)， ??AO??(cbBCBA?) 同理：BO?u(acABACBCBA?11u?AB?AO?OB??(?)?u(?)?[?(?)u]AB?(?)AC
cbaccacab??11?(?)u?1?a?11bc?cacu???(?)u?1??得代入解得， ?bcaca?b?cu????0??ab证明：??AO?bcABAC（) ?a?b?ccb化简得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0，
?aOA?bOB?cOC?0
* 设???0,???，则向量?(* 设???0,???，则向量?(ABABABAB?ACACACAC)必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;
?)必平分∠BAC的邻补角
?ABAC?),??0?AP??(ABAC??*??P为ABC的内心 ?BP?t(BA?BC)，t?0?BABC??
*O是△ABC的内心充要条件是
OA?(AB|AB||AC|?AC)?OB?(BA|BA||BC|?BC)?OC?(CA|CA||CB|?CB)?0
*若O是△ABC的内心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c
OC=0或sinA·OC=0; OA+b·OB+c·OA+sinB·OB+sinC·故a·
*设O为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，
* OI?aOA?bOB?cOC
a?b?caXA+ bXB+ cXCayA+ byB+ cyC
内心I（ ， ）
a+b+ca+b+c
证明：由I是?ABC的内心?a?IA?b?IB?c?IC?0。(其中a,b,c是?ABC三边)（见内心的充要条件的证明）
OI?OA?AI?OB?BI?OC?CI
?a?b?c?OI?a?OA?AI??b?OB?BI??c?OC?CI?
?aOA?bOB?cOC?aAI?bBI?cCI?aOA?bOB?cOC
OI?aOA?bOB?cOCaXA+ bXB+ cXCayA+ byB+ cyC
, ∴I（ ， ）.
a+b+ca+b+ca?b?c??O是?PPa,b,c是?PP1?b?OP2?c?OP3?0。(其中12P3的内心?a?OP12P3三边)
5.若o为三角形的旁心，则aOA=bOB+cOC(abc是三边)
???*已知O为△ABC的外心，求证：OAsinBOC?OBsinAOC?OCsinAOB?0．
分析 构造坐标系证明．如图３，以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上方．S△AOB?y3x?(x?2 y C(x3,y3) 1x2y0，直线BC的方程是2?0y由于点A与点O必在直，2x3 O(x0,y0) )x?y3A 图３ B(x2,y2) x 线BC的同侧，且?x2y3?0，因此有
x0y?3x3?y0x2?y00x?，得2yS△BOC?1(x3y0?x2y3?x0y3?x2y0)． 2直线AC的方程是y3x?x3y?0，由于点(1,0)与点O必在直线AC的同侧，且
y3?1?x3?0?0，因此有x0y3?x3y0?0，得S△AOC?1(x0y3?x3y0)． 2于是，容易验证，OA?S△BOC?OB?S△AOC?OC?S△AOB?0， 又
S△BOC?1|OB||OC|sinBOC2，
S△BOA?1|OB||OA|sinAOB2，
S△AOC?1|OA||OC|sinAOC， 又|OA|?|OB|?|OC|， 则所证成立． 2与三角形“四心”相关的向量结论
随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。 问题：设点O在?ABC内部，且有OA?3OB?OC?0，则?BOC与?AOC的面积的比值是____.
分析：∵OA?3OB?OC?0 设3OB?OD，则OA?OD?OC?0， 则点O为?ADC的重心.∴S?DOC?S?COA?S?AOD? 而 S?BOC?11S?COD?S?AOC， ∴S?BOC:S?COA331S?ACD. 31?. 3探究：