计数问题 （18年2月3日）
有3个自然数，它们的最大公约数是40，最小公倍数是1200。请问这样的自然数有多少组？
答案：40组。 讲解思路： 这种计数问题，
难度并不高，但很容易出错， 因为计算个数需要有序思维。 重在理清这3个数之间的关系。 在已知最大公约数为40的情况下， 不妨假设这3个数是40a,40b和40c， 其中a,b,c是自然数。
则原问题等价于求满足条件的a,b,c的组数。 步骤1：
先思考第一个问题，
a,b,c的最大公约数是多少？ 这个问题比较显然，
a,b,c的最大公约数肯定是1， 否则3个数的最大公约数就比40大。 步骤2：
再思考第二个问题，
a,b,c的最小公倍数是多少？ 由于1200=40*30，
故a,b,c的最大公倍数肯定是30。 步骤3：
再思考第三个问题，
满足条件的a,b,c有多少组？ 从步骤2知道， a,b,c都是30的约数， 由于30的约数有8个：
即1，2，3，5，6，10，15，30。 为使得a,b,c的最大公倍数是30。 结合a,b,c的最大公约数是1， 不妨设a >= b >=c,
在这8个数中讨论a,b,c的取值： (1)如果a=30，
则只要其余2个数互素即可， 接着看最小的数c，
c=1时，b取所有数都可以，有8种可能； c=2时，b要大于2且不是2的倍数，有3种； c=3时，b要大于3且不是3的倍数，有2种； c=5时，b要大于5且不是5的倍数，有1种； c不能大于5。
故a=30时,有14=8+3+2+1组； (2)如果a=15， 接着看最小的数c，
c=1时，b是1-15间的偶数，有3种可能； c=2时，b是2-15间的数均可，有6种可能；
c=3时，b是3-15间的偶数且不是3的倍数，有1种可能； c=5时，b是5-15间的偶数且不是5的倍数，有1种可能； c=6时，b只能等于10，有1种可能； c不能等于10。
故a=15时，有12=3+6+1+1+1组。 (3）如果a=10, 接着看最小的数c，
c=1时，b是1-10间3的倍数，有2种可能； c=2时，b只能是3，有1种可能；
c=3时，b是3-10间的数均可，有4种可能； c=5时，b只能是6，有1种可能； c不能等于6。
故a=10时，有8=2+1+4+1组。 (4)如果a=6,
b,c中间一定有1个5，
另一个从1-6中任选1个即可，有5种可能； 故a=6时，有5组。 (5)如果a=5,
b,c只能取2和3， 故a=5时，有1组。 注意到a不能小于5。
所以，可能的取法共14+12+8+5+1=40组。 思考题：
有2个自然数，它们的最大公约数是40，最小公倍数是1200。请问这样的自然数有多少组？
计数问题（17年2月18日）
题目一（简单）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车每车坐 15 人，二小用的汽车每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。问最初的时候一小的汽车坐满没有？
题目二（中等难度）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐 15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问第一次增加1个人后，二小的汽车坐满没有？
题目三（进阶思考，华杯赛真题）
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。学校用汽车把学生送往考场，一小 用的汽车，每车坐 15 人，二小用的汽车，每车坐 13 人。结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校各有多少人参加竞赛？ 间隔计数问题（17年2月8日）
题目一：（简单）
在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取完1圈后，白子剩余多少枚？此时，最后取的1枚白子是在什么位置？
题目二：（中等难度）
在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取完2圈后，白子剩余多少枚？此时，最后取的1枚白子是在什么位置？
题目三：（进阶思考，华杯赛真题）
在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？
计数问题2月3日
有一种特殊的数，首位数字等于其它所有数字的和，称为“领头数”。比如532就是一个“领头数”。请问三位数中，有多少个“领头数”？
答案：54个。 讲解思路：
由于三位数中“领头数”其实是由后两位数字确定的， 只需要考虑后两位数字即可。
步骤1：
先思考第一个问题，
后两位数字应当满足什么关系？
由于百位数字=十位数字+个位数字，
只需要后两位数字的和大于0且小于等于9， 就可以生成一个“领头数”了。
步骤2：
再思考第二个问题， 十位数字可能是什么？ 这个问题很显然，
从0-9的任意一个数字都可以。
步骤3：
再思考第三个问题，
“领头数”共有多少个？
要满足十位数字与个位数字的和不大于9， 对十位上的数字进行讨论: 当十位数字是0时，
个位数字有1-9共9种可能； 当十位数字是1时，
个位数字有0-8共9种可能； ……
当十位数字是8时，
个位数字有0-1共2种可能； 当十位数字是9时，
个位数字只有有0这1种可能。 所以三位数中“领头数”个数为： 1+2+3+…+9+9=54。
思考题：
有一种特殊的数，末位数字等于其它所有数字的和，称为“收尾数”。比如123就是一个“收尾数”。请问三位数中，有多少个“收尾数”？