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高考数学一轮复习课时分层训练57绝对值不等式文北师
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1．(2018·榆林模拟)已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)＋x2－4＞0的解集；
(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)＜g(x)的解集非空，求实数m的取值范围．
[解] (1)由题意，知x－2＞4－x2(x≥2)或x－2＜x2－4(x＜2)， 由x－2＞4－x2(x≥2)得x＞2；由x－2＜x2－4(x＜2)， 得x＜－1，
3分 4分 5分
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∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜－1}. (2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m的解集非空， ∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， 分
∴3m＞9，∴m＞3.
10分
2．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．
[解] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意； 当a＜－1时，f(x)＝
3分
f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，
解得a＝－6；
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5分
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当a＞－1时，f(x)＝ 7分
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，
解得a＝4.
9分
10
综上所述，实数a的值为－6或4. 分
3．(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝－3时，
不等式f(x)≥3化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若x≤2时，由(*)式，得5－2x≥3，∴x≤1. 若2＜x＜3时，由(*)式知，解集为?.
若x≥3时，由(*)式，得2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3的解集是{x|x≥4或x≤1}. (2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 当1≤x≤2时，(**)式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－A．
4分
8分
由条件，[1,2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0， 故满足条件的实数a的取值范围是[－3,0].
4．(2018·福建六校联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)－log2(a2－3a)＞2恒成立，求实数a的
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10分
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取值范围.
【导学号：00090379】
[解] (1)原不等式等价于或或 解得＜x≤2或－≤x≤或－1≤x＜－， ∴不等式f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤2}.
1分 3分 4分
(2)不等式f(x)－log2(a2－3a)＞2恒成立?log2(a2－3a)＋2＜f(x)恒成立?log2(a2－3a)＋2＜f(x)min成立， ∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， ∴f(x)的最小值为4，∴log2(a2－3a)＋2＜4，
??a2－3a＞0，即?
??a2－3a－4＜0，
6分 7分
解得－1＜a＜0或3＜a＜4， ∴实数a的取值范围为(－1,0)∪(3,4).
9分 10分
5．(2018·肇庆模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋A．
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围． [解] (1)由f(x)≥g(x)， 得|x＋1|≥2|x|，
两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0， 解得－≤x≤1，
所以原不等式的解集为.
4分
2分
(2)由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a， 即|x＋1|－2|x|≥A． 令F(x)＝|x＋1|－2|x|，
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依题意可得F(x)max≥A． 5分
F(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 7分
易得F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 9分
所以当x＝0时，F(x)取得最大值1. 故a的取值范围是(－∞，1].
6．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
[解] (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|， 所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－， 故原不等式的解集为.4分 (2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)， 所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4， 当且仅当m＝n＝时，等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2| ＝
8分 10分
则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4. 解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤.
10分
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