数列知识点梳理
一、等差等比数列基础知识点
（一）知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1、.定义：若数列{an}满足an?1?an?d(常数),则{an}称等差数列；
2、通项公式：an?a1?(n?1)d?ak?(n?k)d; 3、前n项和公式：公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22②等比数列：1、.定义若数列{an}满足an?1，则{an}称等比数列； ?q（常数）
an2、通项公式：an?a1q当q=1时Sn?na1.
2．简单性质：
n?1?akqn?ka1?anqa1(1?qn)Sn??(q?1), ;3°.前n项和公式：
1?q1?q①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,?,an,
1、.若{an}是等差数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??; 2、.若{an}是等比数列，则a1?an?a2?an?1?a3?an?2??. ②中项及性质：
1、.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A?a?b; 22、.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且G??ab. ③设p、q、r、s为正整数，且p?q?r?s, 1、若{an}是等差数列，则ap?aq?ar?as; 2、若{an}是等比数列，则ap?aq?ar?as; ④顺次n项和性质：
1、.若{an}是公差为d的等差数列，则?ak,k?1nk?n?1?a,?akk?2n?12n3nk组成公差为n2d的等差数
列；
1
2、若{an}是公差为q的等比数列，则?ak,k?1nk?n?1?a,?akk?2n?12n3nk组成公差为qn的等比数列.
（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）
⑤若{an}是等比数列，
则顺次n项的乘积：a1a2?an,an?1an?2?a2n,a2n?1a2n?2?a3n组成公比这qn的等比数列.
⑥若{an}是公差为d的等差数列,
1、若n为奇数，则Sn?na中且S奇?S偶?a中(注:a中指中项,即a中?an?1,而S奇、S
2偶
2指所有奇数项、所有偶数项的和）；
nd. 2、若n为偶数，则S偶?S奇?2
2
（二）学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或a,aq)
”
③
四
数
成
等
差
数
列
，
可
设
四
数
a，q为
“a,a?m,a?2m,a?3m(或a?3m,a?m,a?m,a?3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq2,aq3(或aa,?,aq,?aq3),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问题：
111（Ⅰ）已知,,成等差数列，求证：
abcb?cc?aa?b,,（1）成等差数列； abcbbb（2）a?,?,c?成等比数列.
222[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决， 112a?c2??????2ac?b(a?c),acbacbb?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c2(1)????acacac2(a?c)22(a?c)??.b(a?c)b
b?cc?aa?b?,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a?)(c?)?ac?(a?c)??(?)2,22242bbb?a?,?,c?成等比数列.222（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2?1,2Sn?n(an?1),
3
（1）求证：{an}是等差数列； （2）若数列{bn}满足:
b1?3b2?5b3???(2n?1)bn?2n?1an?6 求证：{bn}是等比数列.
① ?2Sn?n(an?1)[解析]（1）?
② 2S?(n?1)(a?1)n?1?n?1②－①得2an?(n?1)an?1?nan?1?(n?1)an?1?nan?1,
令n?1得a1??1,?a2?1,?令n?2得a3?3,猜想an?2n?3,用数学归纳法证明:
1）当n?1时,a1??1?2?1?3,a2?1?2?2?3,结论正确; 2）假设n?k(k?2)时结论正确,即ak?2k?3,
?当n?k?1时,?(k?1)ak?1?kak?1?k(2k?3)?1?2k2?3k?1?(2k?1)(k?1) ?k?2,?ak?1?2k?1?2(k?1)?3,结论正确. 由1）、2）知，当n?N?时,an?2n?3,
?an?1?an?(2n?1)?(2n?3)?2,即{an}是公差为2的等差数列;(2)设Tn?2n?1an?6?2n?1(2n?3)?6,?当n?2时(2n?1)bn?Tn?Tn?1?2n?1(2n?3)?2n(2n?5)?(2n?1)?2n,?bn?2n(n?2),而b1?4?(?1)?6?2,也适合,?当n?N?时bn?2n,?bn?1?2,即{bn}是公比为2的等比数列.bn
[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题：
（Ⅰ）等差数列的前n项和为Sn,若SP?求SP?Q(用P,Q表示).
QP,SQ?(P?Q), PQ 4
[解析]选择公式\Sn?an2?bn\做比较好，但也可以考虑用性质完成.
?Q2?aP?bP??P[解法一]设Sn?an2?bn,???P?aQ2?bQ??Q①
②
Q2?P2①－②得：?(P?Q)[a(P?Q)?b],?P?Q,
PQ?P?Q,?a(P?Q)?b??P?Q,PQ(P?Q).PQ2
?SP?Q?(P?Q)[a(P?Q)?b]??[解法二]不妨设P?Q,?QP??SP?SQ?aQ?1?aQ?2???aP PQ?(P?Q)(aQ?1?aP)2(P?Q).PQ2?P?Q(P?Q)(a1?aP?Q)P?Q??SP?Q,P?Q2P?Q
?SP?Q??为
（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积
1282，求项数n. [解析]设公比为q,?n?12a1a3a5?an1024??42
a2a4?an?11282?a1?q?42(1)
35252而a1a2a3?an?1024?1282?2?(a1?q?n?1n2352?a1?qn3521?2?3??(n?1)?2352)?2,将(1)代入得(2)?2,
5n35?,得n?7.22（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,?,akn恰为等比数列,其中k1?1,k2?5,k3?17,
求数列{kn}的前n项和.
[解析]?a1,a5,a17成等比数列,?a5?a1?a17,
5
2