第2章 质点动力学习题解答
2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a运动。物体质量为m，弹簧的弹性系数为k，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a、b）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c）。 解：（a）N?mg?ma N?m(g?a) （b）mg?N?ma N?m(g?a) （c）F?mg?ma F?m(g?a)
2-2 如图所示，质量为10kg物体，?所受拉力为变力F?3t2?21（SI），t?0时物体静止。该物体与地
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面的静摩擦系数为?s?0.20，滑动摩擦系数为??0.10，取g?10 m/s，求t?1s时，物体的速度和加
速度。
解：最大静摩擦力fmax??smg?20(N)
F?fmax，t?0时物体开始运动。
F??mg?ma，a?F??mgm?0.3t?1.1
2t?1s时，a?1.4(m/s2) ?a?dvdt3，dv?adt，?dv?0v?t00.3t?1.1dt
2v?0.1t?1.1t
t?1s时，v?1.2(m/s) 2-3 一质点质量为2.0kg，在Oyx???????2t?0时，平面内运动，?其所受合力F?3ti?2tj（SI），速度v0?2j（SI），位矢r0?2i。求：（1）t?1s时，质点加速度的大小及方向；（2）t?1s时质点的速度和位矢。 ?解：a??Fm32?232??2ti?tj
ax?t，v0x?0，x0?2
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?vx0dvx??tt320tdt，vx?32t32
?x2dx??0vxdt??tt02dt，x?t48?2
ay?t，v0y?2，y0?0
vyt??2dvy??0tdt，vy?tt22?2
y0dy??t0vydt??0(t22?2)dt，y?t36?2t
?3??2（1）t?1s时，a?i?j(m/s)
232?1?5??t?t?j （2）v?i?(?2)j，t?1s时，v?i?222243???17?13?tt?t?1i?j r?(s时，r??2)i?(?2t)j，
86862-4 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。
解：依题意f??kv，
dvdtkvmv（1）a???，?tdvvv0??t0(?km)dt，解得：v?v0e?kmt
（2）根据动量定理?(?kv)dt?0?x0?kdx?0?mv0，解得： x?mv0k
即子弹射入沙土的最大深度x?mv0k
2-5 一悬挂软梯的气球总质量为M，软梯上站着一个质量为m的人，共同在气球所受浮力F作用下加速上升。若该人相对软梯以加速度am上升，问气球的加速度如何？
解：设气球开始时的加速度为a，当人相对软梯以加速度am上升时的加速度为a?
当人相对软梯以加速度am上升时，有：
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?F?Mg?T?Ma? ???T?mg?m(am?a)解以上两式可得：F?(M?m)g?(M?m)a??mam??（1） 开始时刻：F?(M?m)g?(M?m)a??（2） 两种（1）（2）式比较可知，a??a，气球的加速度变小。
2-6 如图所示，在一列以加速度a行驶的车厢上装有倾角??30?的斜面，并于斜面上放一物体，已知物体与斜面间的最大静摩擦系数?S?0.2，若欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度应有怎样限制？ 解：静摩擦力满足：0?f??s
当最大静摩擦力的方向沿斜面向上时，加速度最小。
?Nsin???sNcos??mamin ?Ncos???Nsin??mgs?解以上两式得：amin?g(sin???scos?)cos???ssin??3.39(m/s)
2当最大静摩擦力的方向沿斜面向下时，加速度最大 ?Nsin???sNcos??mamin ??Ncos???sNsin??mg解以上两式得：amin?g(sin???scos?)cos???ssin??8.80(m/s)
2欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度的值应满足3.39m/s?a?8.80m/s
2-7 棒球质量为0.14kg，用棒击打棒球的力随时间的变化关系如图所示。设棒被击打前后速度增量大小为70 m/s，求力的最大值。设击打时不计重力作用。 解：根据面积法可求出力的冲量 I?12?0.08?Fmax22?0.04Fmax
根据动量定理，有I?mv2?mv1?m?v 代入数据解得：Fmax?245(N)
2-8 子弹在枪筒中前进时受到的合力可表示为F?500?m/s，设子弹飞出枪口时合力刚好为零，求子弹的质量。
43?10t (SI)，子弹由枪口飞出时的速度为300
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解：子弹飞出枪口时合力刚好为零，有：500? I?43?10t?0，t0?3.75?105?3(s)
?t00Fdt?500t0?23?10t052?0.94(Ns)
(2)根据动量定理I?mv?mv0?mv，计算得
m?Iv?3.1?10?3?kg??3.1(g)
2-9 有两个质量均为m的人站在停于光滑水平直轨道的平板车上，平板车质量为M。当他们从车上沿相同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人跳下时相对于车的水平分速度均为u。试比较两个人同时跳下和两个人依次跳下这两种情况下，车所获得的速度的大小。 解：（1）两人同时跳下。
在地面参考系中，设平板车的末速度为v，则两个人跳下时相对地面的速度为v?u 根据动量守恒，有：0?Mv?2m(v?u)
2mu(M?2m)v?
（2）一个人跳下，另一个再跳下。
设第一个人跳下车后车的的速度为v0 0?(M?m)v0?m(v0?u) v0?muM?2m
设另一个再跳下车后车的速度为v，以车和车上的人为质点系，有： (M?m)v0?Mv?m(v?u)
(M?m)v0?muM?mmM?mmM?2m v??(?)u
2-10 质量为m的人拿着质量为m0的物体跳远，设人起跳速度为v0，仰角为?，到最高点时，此人将手中的物体以相对速度u水平向后抛出，问此人的跳远成绩因此而增加多少？
解：人不向后抛出物体所能跳过的距离为x?v0t0cos?，式中t0为人跳离地面的时间。
由y?vot0sin??12gt02?0可解得：t0?2v0sin?g
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x?v0t0cos??2v0sin?cos?g2?v0sin2?g2
在最高点，人若不向后抛出物体，此时速度为vx?v0cos?，
当人在最高点将手中的物体以相对速度u水平向后抛出时，设人在水平方向的速度为v?，根据动量守恒x定律，有：(m?m0)v0cos??mv??m0(v??u) xxv??x(m?m0)v0cos??m0um?m0?v0cos??m0um?m0
?vx?可见与不抛出物体时相比，人的速度增加了?v?v?xm0um?m0
此人增加的跳远距离为l??v?t02?m0uv0sin?(m?m0)g
2-11 有一正立方体铜块，边长为a，今在其下半部中央挖去一截面半径为a/4的圆柱形洞，如图所示，求剩余铜块的质心位置。
解：由质量分布的对称性可知，铜块的质心应在此平面内通过圆洞中心的竖直线上。完整铜块的质心应在丄立方体中心O处。把挖去的铜柱塞回原处，其质心应在其中心A处。挖去铜柱后剩余铜块的质心应在AO连线上，设在B处。
由于挖去的铜柱塞回后铜块复归完整，由此完整铜块的质心定义应有： m1BO?m2AO，
m1??a??a?()??a(1?其中m2??a?()为挖去铜柱的质量，
44a23a23?16)为挖铜柱后剩余铜块的
质量。
BO?m2m1AO??/161??/16?a4?0.061a
即剩余铜块的质心在正方体中心上方0.061a处
2-12 用劲度系数为k的轻质弹簧将质量为m1和m2的两物体A和B连接并平放在光滑桌面上，使A紧靠墙，在B上施力将弹簧自原长压缩?l，如图所示。若以弹簧、A和B为系统，在外力撤去后，求：（1）系统质心加速度的最大值；（2）系统质心速度的最大值。
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