概率论和数理统计试题及答案
一、填空题:
1、设A与B相互独立，P(A) =
11, P(B) =, 则P (B-A) = . 32111解：P(B?A)?P(B)[1?P(A)]??(1?)?
23322、设X~U[1,3]（均匀分布），则E(X)? ，D(2X)? ．
E(5X?2)? ，
解：E(X)?2;D(X)?1/3
E(X2)?D(X)?E(X)2?13/3 D(2X)?4D(X?)4 / E(5X?2)?5E(X?)?21?0? 23、设随机变量X服从指数分布，即 X~E(2), 定义随机变量
?Y??2,X?3?1,X?3 则 Y 的 分布列为 。
???1,X?3解：
FY(Y)?P(Y?y)?P(Y??1)?P(X?3)
??3??02e?2xdx??e?2x3???2?0?1?e?6FY(Y)?P(Y?y) ?P(?1?Y?1)?P(X?3)
??32e?2xdx??e?2x3600?1?e?FY(Y)?P(Y?y)?P(1?Y?2)?P(X?3) 其中?是与y无关的量
??3??x3??02e?2dx??e?2x0?1?e?6?2?4、设X~B(200,0.1) Y~P(3),Z~N(3,22)，且X，Y,Z相互独立, 则
E(2X?3Y?Z?5)? , D(2X?3Y?Z?5)?
解
E(?D(2X?3Y?Z?5)?4D(X)?9D(Y)?D(Z)?72?27?4?103
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：
2X
?
??0.5x1?0.1x2?ax35、设总体X~N(?,?2)，x1,x2,x3为来自X的样本，?是未知参数?的无偏估计，则a?解：因为是无偏估计所以
。
?)?E(0.1x5? E(? ?(0.5? (0.5?0.x1?a3x?)20.E5(1x?)E0.1?(a)E 3x(2x)0.?1aE)X(?)?(0.?5a?0.?1? )0.?1a?)
a??0.4
226、设X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2),X与Y相互独立，且X与Y分别为X,Y的样
本均值，样本容量分别为n1,n2。若?1,?2已知，则检验假设：
22H0:?1??2；H1:?1??2
的检验统计量为 。 解：(X?Y)?21n1??22
n27、设随机变量X服从正态分布N(?,1),关于?的二者必居其一的假设为
H0:??0;H1:??1,且假设的拒绝域取为W:x?c(0?c?1),其中x是容量为n的样本均
值，则以W为拒绝域的检验法犯第II类错误的概率?＝ 。
解：因为(x??)/(?n)服从于标准正态分布
P(?)?P(x/(?/n)?c/(?/n)u?0) ?P(?cn?x?cn) ?2?(cn)?1
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设A、B、C 是三个事件，则下列事件中必与A互斥的是 【 C 】
A、ABC B、AC、ABC
AC
BC D、 AB?1,x?1?2、设随机变量X的分布函数F(x)??x3,0?x?1，则E(X)? 【 C 】
?0,x?0?第 2 页 共 11 页
A、1 B、解：f(x)?dF(X)
311 C、 D、 424 0 x?1
= 2x 0?x?1
0 x?0
2E(x)??xf(x)dx
???1411??2xdx?x? 020213
3、设X服从参数??0.5的指数分布，则Y?2X的概率密度函数是 【 B 】
?0.5e?0.5yA、fY(y)???0??e?yC、fY(y)????02y?0 y?0y?0y?0
?0.25e?0.25yy?0 B、fY(y)??
0y?0??e?yD、fY(y)???0y?0 y?0
解：fY(y)?fx()d()
?0.5?12 ?0.5?e y?0
2yy2y2= 0 y?0
4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布的中心极限定理，则一盒（100个）螺丝钉的质量超过5100g的概率p? 【 C 】
A、1??(1) B、?(1) C、1??(2) D、?(2) 解：P(?xi?1ni?5100)
?1?p(i?1?xni?n??5100?100?50100?5n?)
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?1?p(z?2)?1??(2)
5、设x1,x2,…，x9是正态总体N(0，2)的样本，则在下列各式中，正确的是
【 】
1921922A、?xi~?(9) B、?xi~?2(8)
8i?19i?1192C、?xi~?2(9)
9i?1解：选C
192D、?xi~?2(8)
8i?16、设E(X)?11,D(X)?9，用雪比晓夫不等式估计概率p?P{2?X?20}是
【 】
1188 B、p? C、p? D、p? 999998解：P{2?X?20}?P(X?11?9)?1?2?
99选C
A、p?
2 7、设X~N(0,1),Y~?(5),且X与Y相互独立，则下列分布错误的是 【 】
X2~F(1,5) A、 X?Y~?(6) B、 Y22X2~F(1,5) D、 C、
Y/5解：选D
X~t(5) Y/58、设H0 表示假设H0真, H0 表示假设H0假, 拒绝域为A，则犯第二类错误的概率为 【 】
A、P(AH0) B、P(AH0) C、P(AH0) D、P(AH0)
解：选D
三、解答题
1、设随机变量X的分布列为： X p
求：（1）Y=X2的分布列；(2) Z?cos-1 0.3 1 0.5 2 0.2 ?X2分布列；（3）E(X），D（X)。
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X\\Y1232、设(X（1）求常数a；（2）求(X,Y)的联合分布列为0,Y)a2/152/15．
12/154/154/15的边缘分布列；（3）判别X与Y是否独立
141解：a?1??
1515 X/Y 0 1 1 1/15 2/15 2 2/15 4/15 3 2/15 4/15 FY(X) FY(0)?1/3 FY(1)?2/3 FX(Y) FX(1)?1/5 FX(2)?2/5 FX(3)?2/5 由表得F(X,Y)?FY(X)FX(Y)
111?? 3515122 F(0,2? )FY(F0)?(2?)?X3515122 F(0,2? )FY(F0)?(3?)?X3515212 F(1,1 ?)FYF(1)?(1?)?X3515224 F(1,2? )FYF(1)?(2?)?X3515224F(1,3)?FY(1)FX(3)???
3515即：F(0,1)?FY(0)FX(1)? 所以相互独立
3、设电源电压X~N(220,25)，且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别 是0.1，0.001和0.2：（a）X不超过200伏；（b）X在200~240伏之间；（c）X超过240伏。
求：（1）电子元件损坏的概率(设：?(0.8)?0.8)；
（2）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压X超过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求：只列式，不计算）。
解： 1
2p(元件损坏)?0.1?p(x?200)?0.001?p(200?x?240)?0.2?p(x?240)x?220x?220240?220240?220?0)?0.001?p(0??)?0.2?p(x?) 25252525?0.1??(0)?0.001?[?(0.8)??(0)]?0.2??(0.8)?0.1?p(?0.1?0.5?0.001?[0.8?0.5]?0.2?0.8?0.21032
p1?p(原件损坏x?240)?0.2?p(x?240)?0.16
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