《数学模型》作业答案
第二章(1)（2012年12月21日）
1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们
要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法；
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： A B C
将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
p1?235, p2?333, p3?432, 方法一（按比例分配） q1? 1 2 3 4 5 235 117.5 78.3 58.75 … 333 166.5 111 83.25 … 432 216 144 108 86.4 ?pi?13i?1000.
p1N?pi?13?2.35, q2?ip2N?pi?13?3.33, q3?p3Ni?pi?13?4.32
i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
n1?2, n2?3, n3?4
第一章作业解答第 1 页 共 55 页
第10个席位：计算Q值为
235233324322Q1??9204.17, Q2??9240.75, Q3??9331.2
2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5
方法三（d’Hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2, n2?3, n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.
pi是ni每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近.
pip中选较大者，可使对所有的i,i尽量接nini 再考虑N?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
宿舍 （1） （2） （3） A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 （1） （2） （3） 4 4 3 5 5 5 6 6 7 15 15 15 总计 10 10 10
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得
?t0vdt?2?k?(r?wkn)dn
0n2?rk?wk22n2? vt?2πk(r n ?wk) ? t?n?n.
2vv《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
第一章作业解答第 2 页 共 55 页
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货
批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本．
10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
C(T)?c1c2rT??kr T2
ccrdC??12?2 dT2T 令
dC?0 ， 解得 T*?dT??2c1 c2r2c1r c2 由Q?rT ， 得Q?rT?与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
20 对于允许缺货模型，每天平均费用为：
?c2Q2c31??(rT?Q)2?kQ? C(T,Q)??c1?T?2r2r?c1c2Q2c3rc3Q2kQ?C??2????2 22?T2T2rT2rTT
cQk?Cc2Q??c3?3? ?QrTrTT??C?0???T 令? ， 得到驻点：
?C?0????Q??? ??Q????T??2c1c2?c3k2?rc2c3c2c322c3kr2c1rc3kr??c2c2?c3c2(c2?c3)c2?c3
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
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2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，
k?r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间?0?t?T0?一边生产一边销售，后来的
一段时间(T0?t?T)只销售不生产，画出贮存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品贮存费为c2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论k??r和k?r的情况.
解：由题意可得贮存量g(t)的图形如下：
O ng k?r g(t) r T0 T Tt (k?r)T0?T
2 贮存费为 c2lim?t?0?g(?i)?ti?c2?g(t)dt?c2i?10又? (k?r)T0?r(T?T0) ? T0?rr(k?r)T?T T , ? 贮存费变为 c2?k2k于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
c1c2r(k?r)T2c1r(k?r)T???c2 C(T)? T2kTT2k
cdCr(k?r)??12?c2. dT2kT 令2c1kdC?0 , 得T?? dTc2r(k?r)?? 易得函数C(T)在T处取得最小值，即最优周期为： T?2c1k
c2r(k?r) 当k??r时，T??2c1 . 相当于不考虑生产的情况. c2r第一章作业解答第 4 页 共 55 页
当k?r时，T??? . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度?与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度?与火势b有关，可知火势b越大，灭火速度?将减小，我们作如下假设: ?(b)?k， b?1中的1是防止b?0时???而加的. 分母b?1c1?t12c1?2t12(b?1)c2?t1x(b?1)总费用函数C?x?????c3x
22(kx??b??)kx??b??最优解为 x??ckb12?2c2b(b?1)?(b?1)(b?1)?? 2k2c3k?5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设
q(t)?q0??t，?为增长率.又设单位时间的销售量为x?a?bp(p为价格).今将销售
期分为0?t?T和T22?t?T两段，每段的价格固定，记作p1,p2.求p1,p2的最优值，
使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为Q0，再求p1,p2的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为
T??a?bp1,0?t?2 x??
Ta?bp2,?t?T?2?又? q(t)?q0??t.于是总利润为
?(p1,p2)??T20?p1?q(t)?(a?bp1)dt??T?p2?q(t)?(a?bp2)dt
2TTT?2??2???=(a?bp1)?p1t?q0t?t?2?(a?bp2)?p2t?q0t?t?T
2?2???02p1Tq0T?T2p2Tq0t3?T2??)?(a?bp2)(??) =(a?bp1)(228228第一章作业解答第 5 页 共 55 页