工程数学二复习题（教师用）
一、选择题：
1、下列等式中有一个是微分方程，它是（ D ）
?u?v?uv??u???? A、u?v?uv??(uv)? B、
v2?v?dyd(y?ex)x?e?C、 D、y???3y??4y?0 dxdx解：选项A和B是求导公式，选项C为恒等式，选项D符合微分方程的定义
2、下列方程中有一个是一阶微分方程，它是（ C ）
A、(y?xy?)2?x2yy?? B、(y??)2?5(y?)4?y5?x7?0 C、(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?0 D、xy???3y??4y?0
3、若级数
??an?1?n与
?bn?1?n都发散，则（ C ）
?A、
?(an?1?n?bn)发散 B、?anbn发散
n?1?22?bn)发散 D、?(an?bn)发散
n?1C、
?(an?1n解：由an?an?bn推知若选项C收敛，则 4、级数
?an?1?n收敛，与题设矛盾，故选C ?an?1?n的部分和数列?Sn?有界是该级数收敛的（ A ）
A、必要非充分条件 B、充分非必要条件
C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 5、级数
a（a为常数）收敛的充分条件是（ A ） ?nqn?1?A、|q|>1 B、q=1 C、|q|<1 D、q<1 解：该级数是公比为
11的几何级数，所以当?1，即|q|>1时级数收敛 qq6、若级数
?an?1n?n收敛，那么下列级数中发散的是（ B ）
A、
?100an?1? B、
?(an?1?n?100) C、100+?an D、?an?100
n?1n?1??解：选项B中，因为lim(an?100)?100?0，所以该级数发散
n??
7、若级数
?an?1?n发散，则（ D ）
A、liman?0 B、limSn??n??n??(Sn?a1?a2???an)
C、
?an?1??n任意加括号后所成的级数必发散
D、
?an?1n任意加括号后所成的级数可能收敛
解：选项A和B均为级数发散的充分条件，但非要条件。若级数发散，则任意加括号后所成级数可能收敛也可能发散
8、若级数
??an?1?n收敛，则下述结论中，不正确的是（ C ）
?A、
?(an?1?2n?1?a2n)收敛 B、?kan收敛 (k?0)
n?1C、
?|an?1n|收敛 D、liman?0
n??解：选项A中因为
?(an?1?2n?1?a2n)?(a1?a2)?(a3?a4)?? 所以A正确
选项B中由级数收敛性质知该级数收敛，所以B正确 选项D是级数收敛的必要条件，所以D正确 选项C中原级数收敛，
?|an?1?n|可能收敛也可以发散
9、无穷级数
?(?1)n?1?nun(un?0)收敛的充分条件是（ C ）
A、un?1?un(n?1,2,?) B、limun?0
n??C、un?1?un(n?1,2,?)，且limun?0 D、?(?1)n(un?un?1)收敛
n???n?1解：所给级数为交错级数，选项C为交错级数判断收敛性的莱布尼茨定理中的条件
10、设0?un?A、
1(n?1,2,?)，则下列级数中必定收敛的是（ D ） n?un?1?n B、?(?1)n?1?n2 un C、?un D、?(?1)nunn?1n?1??11、在球x2?y2?z2?2z?0内部的点是（ C ） A、（0，0，2） B、（0，0，-2） C、(,,) D、(?111222111,,?) 222解：球的标准方程为x2?y2?(z?1)2?1，是以（0，0，1）为球心，1为半径的球面，
经验算选项C中的点到球心的距离为3?1 212、设函数z?f(x,y)?xy，则下列各结论中不正确的是（ D ） 22x?yA、f(1,)?yxxyxxy B、 f(1,)?yx2?y2x2?y2xyxy D、 f(x?y,x?y)?2222x?yx?yC、f(,)?11xy13、设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对x，y的偏导数，则f ’x(x0，y0)=（ B ） A、lim?x?0f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)f(x0,y0)?f(x0??x,y0) B、lim
?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0) D、lim
?x?0?xx?x0C、lim?x?0解：根据偏导数定义知选项C和D显然错误 选项A中， ?x?0limf(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)??2fx?(x0,y0) =?2lim?x?0?x?2?x选项B中， ?x?0limf(x0,y0)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?fx?(x0,y0) =lim?x?0?x??x
14、二元函数z=f(x,y)的两个偏导数存在，且
?z?x?0,?z?y?0，则（ D ） A、当y保持不变时，f(x,y)是随x的减少而单调增加的
B、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调增加的 C、当y保持不变时，f(x,y)是随x的增加而单调减少的 D、当x保持不变时，f(x,y)是随y的增加而单调减少的 解：由?z?x?0知当y保持不变时，f(x,y)是x的单调增加函数； 由?z?y?0知当x保持不变时，f(x,y)是y的单调减少函数；
15、 函数z=f(x,y)在点（x0,y0）处可微的充分条件是（ D ） A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续
B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数
C、lim??0[?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y]?0
D、lim?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y??0[?]?0，其中??(?x)2?(?y)2
解：二元函数在点（x0,y0）连续或偏导数存在均不能保证在此点可微 由全徽分的定义知选项D正确
16、已知函数f(x?y,x?y)?x2?y2，则
?f(x,y)?f(x,?x?y)?y?（ B ） A、2x-2y B、x+y C、2x+2y D、x-y 解：设u=x+y，v=x-y，则f(u，v)=uv，从而f(x，y)=xy ?f(x,y)?f(x,y)?x??y? 17、已知函数f(xy,x?y)?x2?y2?xy，则
?f(x,y)?f(x,y)?x,?y分别为（ A A、-1，2y B、2y，-1 C、2x+2y，2y+x D、2y，2x
解：设u=xy, v=x+y，则f(u，v)=(x+y)2-xy=v2-u 所以f(x，y)=y2-x
18、点(x0,y0)使fx?(x,y)?0且fy?(x,y)?0成立，则（ D ） A、(x0,y0)是f(x,y)的极值点 B、(x0,y0)是f(x,y)的最小值点
） C、(x0,y0)是f(x,y)的最大值点 D、(x0,y0)可能是f(x,y)的极值点 解：fx?(x,y)?0且fy?(x,y)?0是f(x,y)在(x0,y0)有极值的必要而非充分条件
19、设区域D是单位圆x2?y2?1在第一象限的部分，则二重积分A、
??xyd??（ C ）
D?1?y20dx?01?x20xydy B、?dx?011?y20xydy
C、
?dy?011?y2112xydx D、?d??r2sin2?dr
020?解：在直解坐标系下：??xyd???dy?D011?y20xydx??dx?011?x20xydy 1?在极坐标系下： 20、A、C、
32d?2d?xyd??rcos??rsin??rdr?r??????sin?cos?d? D00001??0110dx?1?x0f(x,y)dy?（ D ）
1100??1?xdy?f(x,y)dx B、?dy?f(x,y)dx
01?x010dy?f(x,y)dx D、?dy?011?y0f(x,y)dx
解：改变积分次序后，积分区域可记为D?{(x,y)|0?y?1,0?x?1?y} 21、若
??dxdy?1，则积分区域D可以是（ C ）
DA、由x轴，y轴及x+y-2=0所围成的区域
B、由x=1，x=2及y=2，y=4所围成的区域 C、由|x|=1/2，|y|=1/2所围成的区域 D、由|x+y|=1，|x-y|=1所围成的区域
解：由二重积分的几何意义可知D的面积为1，画出草图可知选项A、B、D所给区域面积均为2，选项C所给区域的面积为1
二、填空题：
1、微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解是（ y?1 ） x2、微分方程(1?y)dx?(1?x)dy?0的通解是（ (1?x)(1?y)?C ）
解：?dydx??1?y?1?x，于是ln(1?y)??ln(1?x)?lnC