§2.4流体微团运动的分析
流体微团：由大量流体质点组成的形状可任意选取,尺寸足够小的流体微元。 一、流体微团的线变形速率、角变形速率与旋转角速度 流体微团运动的速度分解：
根据高等数学可知，若已知一点的流速，则其它相邻点的流速均可用其一阶泰勒级数展开表示。为了简明起见，我们选择一个正方形流体微团的一个面进行分析，并通过分析引出几个中用的的积分概念与定义，并将其扩展到三维情况。
如图所示，二维流体微团abcd，设a点的流速为u,v，则根据泰勒级数展开表达式，流体微团其它任何点上的速度均可表示为：
x方向：u??u?udx?dy ?x?y?v?vdx?dy ?x?yy方向：v?（∵b点：dy=0，c点：dx=0，d点：
dx,dy≠0）
所以在a,b,c,d各点上，流速分布分别为：
a点：x方向u y方向v
?udx ?x?vdx y方向v??x b点：x方向u? c点：x方向u??udy ?y?vdy ?y?u?udx?dy ?x?yy方向v? d点：x方向u? y方向v??v?vdx?dy ?x?y经过dt时间流体微团将会移动到新的位置，而且因为速度分量的不同，会发生平动、
转动和变形的复合运动，一般将会成为一个对角线发生了偏转的菱形流体微团。 根据速度可分解的性质，上图所示速度分布可分解成下面三种情况：
单纯的平行移动：如图所示，因为各点具有相同的速度分量，故dt时间后，流速仅发生单
纯的平行移动。
单纯的线变形：如图所示，因a点速度为0，dt时段后不变，而b，d点均有相同的x方向
分量
?u?udx，故dt时段后在x方向拉伸（或压缩）dxdt，在c,d点均?x?x有相同的y方向速度分量
?v?v因dy故dt时段后在y方向拉伸了dydt。
?y?y流体微团的各个方向的没有变，故这是一种单纯的线变形运动。
因为流体流动是连续的，因此一个方向拉伸，另一个方向必然缩短。故dt后流体微团
在新的位置为a?b?c?d?为拉长后的矩形微团。
流体微团线变形速率的定义（或相对直线变形速度）：流体微团上单位时间，单位长度上的
线变形称之为流体微团的线变形率。简称先变形率，并用带双下标的ε表示： x方向：?xx? y方向：?yy? z方向：?zz??u?udxdt/dxdt? ?x?x?v?vdydt/dydt? ?y?y?w?udzdt/dzdt? ?z?z对于不可压缩流体，一个方向拉伸，另外方向就一定会压缩，因此三个方向的线变形率之和一定为零，即：?xx??yy??zz??u?v?w???0 ?x?y?z如果用场量的表示方法即速度的散度为零??V?0，从上面我们可以看出，速度的散度所表达的物理意义应是流体微团的体积膨胀。对于不可压缩流体体积膨胀率应为0。 单纯的角变形：
如图所示的流速分布，若在假定
?v?udx和dy大小相等，均为正值（或均为负值），?x?y则dt时段后，流体微团ab边和ac边就会在相反的方向。（逆时或顺时）转过同样的角度，
d点也会沿对角线方向作相应的移动。
ab边的转角α1应近似为：?1?对?v?v?dxdt/dx?dt 邻?x?xac边的转角α2应近似为：?2?对?u?u?dydt/dy?dt 邻?y?y且：?1??2。因此dt时刻后就会产生一个a点位置不变，对角线方法不变单纯的角变形运动。如图所示。
单纯的转动：
如图所示的速度分布，再假定
?u?vdx和dy大?x?y小相等，但正负相反（一正一负），则dt时刻后，
ab边及ac点就会产生同一方向（同为逆时或同为顺时）转角相同的转动，d点也会作相应的移动，此时dt时刻正方形的流体微团仍然保持其形状不变，只是整个上发生了单纯的转动。如图所示。 如果规定转角逆时针为正，则有
?1???v?vdxdt/dx?dt ?x?x?2???u?udydt/dy??dt ?y?y?u?0） ?y?1???2?（图示的
一般情况下，
?u?vdx和dy大小不一定相等，方向也不一定相等。如上面的规定，因此一?x?y??般情况下?1??2，?1??2，实际的流动不是图（4）与图（5）所示的单纯的角变形或单纯的转动，而是如图（3）所示的对角线方位有变化的菱形，是角变形与转动的复合。为
了描述流体微团的角变形的大小和旋转角的大小，特别引出如下概念与定义。
流体微团的平均角变形：
11?u?v(?1??2)?(?)dt 22?y?x流体微团的平均转动角：
1?1?u?v?(?1??2)?(?)dt 22?y?x角变形速率的定义：单位时间流体微团的平均角变形。用带双下标的ε表示。 在xoy平面上，根据上面的分析可知： ?xy??yx?1?u?v(?) 2?y?x1?u?w(?) 2?z?x同理在xoz和zoy平面上其定义应为： ?xz??zx? ?yz??zy?1?w?v(?) 2?y?z双下标表示角变形所在的平面。
流体微团的旋转角速度的定义：单位时间流体微团的平均转动角。用单下标ω表示。 根据上面分析，在xoy平面上有： ?z?同理，在其它平面上有： ?y?1?v?u(?)，下标z表示流体微团转动轴的方向。 2?x?y1?u?w(?) 2?y?x1?w?v(?) 2?y?z ?x?上面三个正交平面的旋转角速度可以写成向量的形式： ???xi??yj??zk??(x,y,z,t)
上失即为流体微团旋转角速度矢量，其为（x,y,z,t）的函数。可以将上面关系用场量的表达方法表示成：
i111?????V???222?xuj??yvk? ?zw??V为速度的旋度，也正好是涡矢量的定义。
线变形率、角变形率的张量表示：，，
另外线变形率?xx，?yy，?zz与角变形率?xy，?yx，?xz，?zx，?yz，?zu均为流体的变形率，因此可以将其构建成一个用三个矢量表示的二阶对称变形率张量：
??xx?S???xi??yj??zk????yx??zx??xy?xz???yy?yz? ?zy?zz??其中令?x??xxi??xyj??xzk
?y??yxi??yyj??yzk注意双下标表示的含义。
?z??zxi??zyj??zzk
向量有三个标量组成，也称为一阶张量，二阶张量有三个矢量构成，若对角线上两侧的量相等，则为二阶对称张量。
二、海姆赫兹速度分解定理（Holmholy）
下面从纯数学分析的角度来看流体微团的速度分解。如图所示流体微团，若假定A点的速度为V?ui?vj?wk，则根据一阶台劳级数展开，同一时刻，流体微团任意一点的速度均可表示为：
V?Va??Va?V?V?x?b?y?c?z ?x?y?z将Va代入并进行整理后可得：
V?(u??u?u?u?x??y??z)i ?x?y?z+(v??v?v?v?x??y??z)j ?x?y?z?w?w?w?x??y??z)k ?x?y?z1?v1?w1?u?y，??z，j括号中??x，2?x2?x2?y+(w?给上面三个括号中分别配项i括号中??1?v1?u1?w?y，??x，然后进行整理，并代入前面的流体微团线?z，k括号中?2?z2?z2?y变形率、角变形率及旋转角速度的定义，在进行整理后可得。
V?(u??y?z??z?y??xx?x??xy?y??xz?z)i
+(v??z?x??x?z??yx?x??yy?y??yz?z)j +(w??x?y??y?z??zx?x??zy?y??zz?z)k ∵ ???xi??yj??zk r??xi??yj??zk
※式