第四章 曲线运动 万有引力与航天
类平抛运动的处理 1．受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝
F合
. m3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性． (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、
ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
4．考查特点
(1)类平抛运动是对平抛运动研究方法的迁移，是高考命题的热点问题．
(2)高考考查该类问题常综合机械能守恒、动能定理等知识，以电场或复合场为背景考查学生运用所学知识处理综合问题的能力．
例1 如图1所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
图1
(1)物块由P运动到Q所用的时间t； (2)物块由P点水平射入时的初速度v0； (3)物块离开Q点时速度的大小v. 答案 (1) 2
2l (2)bgsinθ
2
gsinθ
2l(3)
?b＋4l?gsinθ
2l1
解析 (1)沿斜面向下有
mgsinθ＝ma，l＝at2
联立解得t＝
2l.
gsinθ
12
(2)沿水平方向有b＝v0t，v0＝＝b(3)物块离开Q点时的速度大小
btgsinθ
2lv＝v＋?at?＝20
2
?b＋4l?gsinθ
.
2l
22对于周期性运动的问题，注意要把问题考虑全面，思维要严谨．
例2 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度等于3R.则： (1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，且a卫星运行周期已知为Ta，则a经多长时间两卫星相距最远？
14＋2
答案 (1) (2)(2n－1)Ta，n＝1,2,3，…
722
Mm2π2
解析 (1)由牛顿第二定律和万有引力定律，得G2＝m()r，则T＝rT2π
?2R?
3
4πr23
GM，得Ta＝
GM，Tb＝2π
?4R?
Ta1
，所以＝. GMTb22
3
tt1
(2)设经过时间t两卫星相距最远，则－＝(2n－1)，n＝1,2,3，…
TaTb2
4＋2
所以t＝(2n－1)Ta，n＝1,2,3，….
7
易错诊断 本题的易错点在于找不准何时相距最远，以及相距最远时应满足什么条件．两卫星相距最近是指两
卫星位于地心的同侧，且与地心在同一直线上．当两卫星相距最远时，两卫星转过的弧度之差最小为π.若考虑周期性，两卫星转过的弧度之差最小为kπ，k＝1,3,5，…
拓展延伸 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则经多长时间两卫星相距最近？
提示 两卫星相距最近是指两卫星位于地心的同侧，且与地心在同一直线上．当两卫星再次
2
相距最近时，两卫星转过的弧度之差最小为2π.若考虑周期性，两卫星转过的弧度之差最小为2nπ，n＝1,2,3，….
利用平抛运动的轨迹解题．
例3 如图2所示是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0cm、y2为45.0cm，A、B两点水平间距Δx为40.0cm.则平抛小球的初速度v0为________m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度vC为________m/s.(结果保留两位有效数字，g取10m/s)
2
图2
答案 2.0 4.0 1
解析 由y＝2gt2得，t1＝
2y1g＝0.10s，t2＝2y2g＝0.30s，因此小球平抛运动的初速度为
Δx0.40v0＝＝m/s＝2.0 m/s.小球在C点时竖直方向的分速度vy3＝2gy3＝2×10×0.60
t2－t10.20
2m/s＝23m/s，因此C点速度vC＝v2y3＋v0＝4.0m/s.
3